Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

существует такое число $q$, $0<q<1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1,$

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

$\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho <1$, а если $\rho >1$ — расходится.

Замечание. Если $\rho =1$, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

1. $q<1$, тогда существует $\varepsilon >0\colon \;q+\varepsilon <1\;\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)<q+\varepsilon$, существует $n_{0}$, для любого $n>n_{0}\;\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)<q+\varepsilon ={\frac {(q+\varepsilon )^{n+1}}{(q+\varepsilon )^{n}}}$.
   Ряд из $b_{n}=(q+\varepsilon )^{n}$ сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из $a_{n}$ сходится (по признаку сравнения).
2. $q>1$, тогда существует $\varepsilon >0\colon \;q-\varepsilon >1\;\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)>q-\varepsilon >1$. $a_{n+1}>a_{n}$ для любого $n>n_{0}$. Тогда $a_{n}$ не стремится к нулю и ряд расходится.

Примеры

• Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

• Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}$

расходится при всех $z\neq 0$, так как

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }|(n+1)z|=\infty .$

• Если $\rho =1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$    и    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.