Кубический сплайн

Пусть некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части $[x_{i-1},x_{i}]$. Кубическим сплайном называется функция S(x), которая:

• На каждом отрезке является полиномом третьей степени
• Имеет непрерывную вторую производную
• В точках $x_{i}$ выполняется равенство $S(x_{i})=f(x_{i})$
• $S''(a)=S''(b)=0$

Видно, что S(x) интерполирует функцию f.

Теорема: Существует ровно одна функция S(x), удовлетворяющая этим условиям.

Доказательство конструктивно.

Построение

Обозначим: $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$

Запишем для удобства $S_{i}(x)$ в виде:

$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i} \over 2}(x-x_{i})^{2}+{d_{i} \over 6}(x-x_{i})^{3}$

тогда

$S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=c_{i}$

Для выполнения условия непрерывности

$S_{i}\left(x_{i-1}\right)=f(x_{i-1})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

$a_{i}=f\left(x_{i}\right)$

$h_{i}c_{i-1}+2(h_{i}+h_{i+1})c_{i}+h_{i+1}c_{i+1}=6\left({{f_{i+1}-f_{i}} \over {h_{i+1}}}-{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}\right)$

$d_{i}={{c_{i}-c_{i-1}} \over {h_{i}}}$

$b_{i}={1 \over 2}h_{i}c_{i}-{1 \over 6}h_{i}^{2}d_{i}+{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}$

Если учесть, что $c_{0}=c_{n}=0$, то вычисление с можно провести с помощью метода прогонки для трехдиагональной матрицы.

Ссылки

Костомаров Д.П., Фаворский А.П. "Вводные лекции по численным методам"