Внутренняя метрика
Внутренняя метрика — тип метрик такой, что для любой пары точек есть точка, находящаяся почти на полпути между ними.
Определение
Метрика на пространстве называется внутренней если для любых двух точек и найдётся их -середина, то есть точка такая что
Связанные определения
- Метрическое пространство называется геодезическим, если любые две точки можно соединить кратчайшей.
Свойства
- Полное метрическое пространство с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек и найдётся кривая длины соединяющая и
- Теорема Хопфа — Ринова: Если — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки можно соединить кратчайшей.
- Более того, пространство является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества являются компактными)
Литература
- Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии, ISBN 5-93972-300-4