Точки Аполлония
Точки Аполлония (иногда изодинамические центры[1]) — две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.
Свойства
- Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
- Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.
- Подерные треугольники точек Аполлония правильные (иногда это свойство принимается за определение).
- Последнее свойство можно сформулировать иначе: три ортогональные проекции точек Аполлония на стороны данного треугольника являются вершинами правильного треугольника.
- Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.
- Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника).
- Рассмотрим три сферы, касающиеся плоскости в точках и друг друга внешним образом. Если радиусы этих сфер равны , то и т. д. Поэтому две сферы касающиеся трёх данных и плоскости, будут касаться плоскоти в точках Аполлония.
Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония
- Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей.
- Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трех внутренних внешним образом, решается с помощью введения так называемой точки Аполлония Ap (Apollonius point [2][3]) (см. Apollonius point).
- Точка Аполлония Ap в Энциклопедии точек треугольника у Кларка Кимберлинга [4] именуется как центр треугольника под именем X(181).
- Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок).
Определение
- Точка Аполлония Ap или X(181)определяется следующим образом:
Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Пусть E - окружность Аполлония (на рис. справа показана зеленым цветом), касающаяся внешним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок). Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют (первой) точкой Аполлония треугольника ABC.
- Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная
окружность E, касающаяся трех данных окружностей EA, EB и EC внешним образом.
- Проекции точки Аполлония Ap на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника.
Замечание
На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответсвующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей EA, EB и EC. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, ее проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.
Трилинейные координаты
Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:
- ( a ( b + c )2 / ( b + c − a ) : b ( c + a )2 / ( c + a − b ) : c ( a + b )2 / ( a + b − c )
- =( ( sin A cos ( B/2 − C/2 ) )2 : ( sin B cos (C/2 − A/2) )2 : ( sin C cos (A/2 − B/2) )2 )
См. также
- Изодинамические центры = Isodynamic point (англ.)
- Точки Торричелли
- Аполлоний Пергский
- Задача Аполлония
- Теорема Аполлония
- Окружность Аполлония
- Замечательные точки треугольника
- Точка Ферма
- Геометрия треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Треугольник
- Отрезки и окружности, связанные с треугольником
Примечания
- ↑ Katarzyna Wilczek (2010). "The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle". Journal of Mathematics and Applications. 32: 95—101.
- ↑ Kimberling, Clark Apollonius Point. Дата обращения: 16 мая 2012.
- ↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa (1987). "Problem 1091 and Solution". Crux Mathematicorum. 13: 217—218.
- ↑ [[#CITEREFClark_Kimberling's(ETC))_Encyclopedia_of_Triangle_Centers-|Clark Kimberling's(ETC)) Encyclopedia of Triangle Centers, -, ]].
Ссылки
- Moon, Tarik Adnan (2010), "The Apollonian circles and isodynamic points" (PDF), Mathematical Reflections (6).