Симплекс

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка (n + 1) точек $(n+k)$ -мерного аффинного пространства ( $k=0,1,2,\ldots$ ), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в $(n-1)$ -мерном подпространстве). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество $\mathbb {R} ^{n+1}$ , определяемое как:

\Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots ,t_{n})\mid {\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}.

Его вершинами являются точки:

e₀=(1, 0, …, 0),

e₁=(0, 1, …, 0),

…

e_n=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$ :

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Значения t_i для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

n-мерный симплекс имеет $n+1$ $n+1$ вершин, любые $k+1$ $k+1$ из которых образуют k-мерную грань.
- В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту ${\tbinom {n+1}{k+1}}.$
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно $n+1$ .
Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:
$V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0})$
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
  $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}$

где

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

— расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}.$

Радиус $R$ описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
$(R{\cdot }V)^{2}=T,$

где

V

-объем симплекса и

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)}^{2}\\d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}

Построение

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n + 1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

0-симплекс (точка) – 1 вершина;
1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Доказательство

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудаленные от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s₀ радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s₀, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s₀, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера S_n-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n – 1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}=r^{2}.\qquad (1)

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h_S) и радиусом R, причём

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Уравнение этой сферы

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}

или

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Подставив в уравнение (2) x_n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h_S сфера S_n-1 является подмножеством сферы S_n, а именно – её сечением плоскостью x_n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (x₁, x₂, x₃, ..., x_n ). Преобразуем уравнение (2) к виду

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

и подставим в него координаты точки С:

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+...+X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R_C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

откуда можно выразить параметр h_S:

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Очевидно, что h_S существует при любых R_C, X_n и r, кроме X_n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S_n–1, всегда можно найти такой параметр h_S, что на сфере S_n c центром (0, 0, 0, ..., h_S) будет лежать и сфера S_n-1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n-1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n-1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

где $C_{n}^{m}$ – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a обозначим:

H_n — высоту;
V_n — объём;
R_n — радиус описанной сферы;
r_n — радиус вписанной сферы;
α_n — двугранный угол.

Тогда

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
$r_{n}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}$

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Высота	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Объём	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Радиус описанной сферы	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n}}}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Радиус вписанной сферы	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Двугранный угол	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$