Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса $r$, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса $R=4r$. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем $k=4$.

История

Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}\,$

Параметрическое уравнение:

$x=R\cos ^{3}t;\quad y=R\sin ^{3}t\,$

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0\,$

Свойства

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до $t\leq \pi /2$

$l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}t$

• Длина всей кривой $6R$.
• Радиус кривизны:

$r(t)={\frac {3}{2}}R\sin 2t$

• Площадь, ограниченная кривой:

$S={\frac {3}{8}}\pi R^{2}$

• Объем тела вращения относительно любой координатной оси:

$V=\pi \int \limits _{-R}^{R}\left(R^{2/3}-x^{2/3}\right)^{3}\,dx={\frac {32}{105}}\,\pi R^{3}$

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса.

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.