Дискриминант

Дискримина́нт многочлена $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$, $a_{n}\neq 0$, есть произведение

$D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$,

где $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$, где $R(p,p')$ — результант многочлена $p(x)$ и его производной $p'(x)$.
  • В частности, дискриминант многочлена

$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

равен, с точностью до знака, определителю следующей $(2n-1)\times (2n-1)$-матрицы:

Примеры

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена $ax^{2}+bx+c$ равен $D=b^{2}-4ac.$

• При $D>0$ вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

• При $D=0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

$x={\frac {-b}{2a}}$.

• При $D<0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

$x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}$.

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ равен

$D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.$

В частности, дискриминант кубического многочлена $x^{3}+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-27q^{2}-4p^{3}$.

• При $D>0$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
• При $D=0$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один единственный вещественный корень кратности 3).
• При $D<0$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени

Дискриминант многочлена четвертой степени $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ равен

${\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}$

Для многочлена $x^{4}+qx^{2}+rx+s$ дискриминант имеет вид

$D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}$

и равенство $D=0$ определяет в пространстве $(q,r,s)$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

• При $D<0$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
• При $D>0$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

Именно, для многочлена $x^{4}+qx^{2}+rx+s$:

• • если $q\geq 0$, то все корни комплексные,
  • если $q<0$ и $s>{\frac {q^{2}}{4}}$, то все корни комплексные,
  • если $q<0$ и $s<{\frac {q^{2}}{4}}$, то все корни вещественные.

• При $D=0$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Именно, для многочлена $x^{4}+qx^{2}+rx+s$:

• • если $q<0$ и $s>{\frac {q^{2}}{4}}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если $q<0$ и $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если $q<0$ и $s={\frac {q^{2}}{4}}$, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если $q<0$ и $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если $q>0$, $s>0$ и $r\neq 0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если $q>0$, $s={\frac {q^{2}}{4}}$ и $r=0$, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если $q>0$ и $s=0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если $q=0$ и $s>0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если $q=0$ и $s=0$, то один вещественный корень кратности 4.

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр.

См. также

• Результант

Литература

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.