Теорема об обратной функции

Теорема об обратной функции дает достаточные условия для существования  обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема обобщается на вектор-функции. Есть также варианты обратной функции теорема для голоморфных функций, для гладких отображений между многообразиями, для гладких функций между Банаховыми пространствами.

Формулировка

Вещественнозначаная функция

Для функции одной переменной, теорема гласит, что если $f$ является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке $a$, то $f$ обратима в окрестности $a$. Более того обратная функция является непрерывно дифференцируемой, и

${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}},$

Функции нескольких переменных

Для функции нескольких переменных, теорема гласит, что если общая производная от непрерывно дифференцируемой функции $F$ , определенной из открытого набора $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ обратимой в точке $p$ (т. е. Якобиан  в $p$ не равно нулю), то $F$ функция является обратимой в окрестности $p$. То есть обратная функция к $F$ существует в некоторой окрестности города $F(p)$. Кроме того, обратная функция $F^{-1}$ является непрерывно дифференцируемой.

Коментарии

• Воторая часть теоремы следует из правила дифференцирования композиции функций.
• Существование обратной функции $F$  эквивалентно высказыванию, что система $n$ уравнений $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ может быть решена $x_{1},\dots ,x_{n}$ при данных $y_{1},\dots ,y_{n}$ предпологая что $x$ и $y$ лежат в малых окрестностях  $p$ и $F(p)$, соответственно.

Пример

Рассмотрим вектор-функцию с табличным значением $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

$\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

Матрица Якоби $F$ имеет вид

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

и её определитель

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.$

Заметим, что $e^{2x}\neq 0$ в любой точке. По теореме, для каждой точки $p\in \mathbb {R} ^{2}$, существует окрестность на которой $F$ является обратимой.

• Заметим, что $F$ необратима поскольку

  $f(x,y)=f(x,y+2\pi )$

для любых $(x,y)$. В частности $F$ не является инъективной

Вариации и обобщения

В бесконечномерных случае необходимо потребовать, что производные Фреше в точке p имеют ограниченный обратный, при этом

$J_{F^{-1}}(F(p))=[J_{F}(p)]^{-1},$

где $[\cdot ]^{-1}$ обозначает обратную матрицу а $J_{F}(p)$ - это матрица Якоби функции $F$в в точку $p$.

Многообразия

Теорема об обратной функции обобщается на гладкие отображений между гладкими многообразиями. Гладкое отображение $F:M\to N$, с дифференциалом,

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

это линейный изоморфизм в точке $p$ в $M$ , тогда существует открытая окрестность $U$ от $p$ таких, что

$F|_{U}:U\to F(U)$

это диффеоморфизм.

Обратите внимание, что это подразумевает, что $M$ и $N$ должны иметь одинаковые размерности на $p$. Если производная $F$ - изоморфизм при всех очков $p$ в $M$ в таком случае карта $F$ является локального диффеоморфизма.

Банаховы пространства

Пусть $X$ и $Y$  Банаховы пространства и $U$ открытого окрестность 0\in $X$. Пусть $F:U\to Y$ непрерывно дифференцируемо и предположим, что дифференциал $dF_{0}:X\to Y$ от $F$ в 0 является ограниченный линейным изоморфизмом $X$ на $Y$. Тогда существует открытая окрестность $V$ О $F(0)$ \subset $Y$ и непрерывно дифференцируемое отображение $G:V\to X$ такое, что $F(G(y))=y$ для всех $y$ в $V$. 

Банаховы многообразия

Эти два направления обобщения могут быть объединены в обратной функции теорема для Банаховых многообразий.

См. также

• теорема о неявной функции

Ссылки

• Lang, Serge. Differential and Riemannian Manifolds. — Springer, 1995. — ISBN 0-387-94338-2.Differential and Riemannian Manifolds. Springer. ISBN 0-387-94338-2. 
• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. — New York : Springer, 1999. — ISBN 978-0-387-98593-0.ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969—980. doi:10.2307/2319298."Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math.Monthly 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. 
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations. — Second. — New York : Springer-Verlag, 2004. — P. 337–338. — ISBN 0-387-00444-0.An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0. 
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. — Third. — New York : McGraw-Hill Book Co., 1976. — P. 221–223.Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book Co. pp. 221–223.