Точки Аполлония

Точки Аполлония выделены зелёным

Точки Аполлония (иногда изодинамические центры) — две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.

Свойства

• Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
• Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.
• Подерные треугольники точек Аполлония правильные (иногда это свойство принимается за определение).
• Последнее свойство можно сформулировать иначе: три ортогональные проекции точек Аполлония на стороны данного треугольника являются вершинами правильного треугольника.
• Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника).

Окружность и точка Парри. (G — центроид, а J и K являются точками Аполлония треугольника ABC)

• Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC (на рисунке справа она красная). Она также проходит через точку Парри (красная точка в черном кольце).
• Рассмотрим три сферы, касающиеся плоскости в точках $A,B,C$ и друг друга внешним образом. Если радиусы этих сфер равны $x,y,z$, то $AB={\sqrt {xy}}$ и т. д. Поэтому две сферы касающиеся трёх данных и плоскости, будут касаться плоскости в точках Аполлония.
• Кубика Нейберга — множество таких точек $X$, что $XX'\parallel OH$ — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, две точки Ферма, две изодинамические точки, бесконечную точку Эйлера(Euler infinity point), а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта (Berhard Gibert) кубика Нейберга значится как K001.

Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения так называемой точки Аполлония Ap (Apollonius point).

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зеленую окружность на рисунке).

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Точка Аполлония и окружность Аполлония

• Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок).

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность E, касающаяся трех данных окружностей E_A, E_B и E_C внешним образом.

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония Ap

• Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Замечание

На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответсвующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей E_A, E_B и E_C. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:

( a ( b + c )² / ( b + c − a ) : b ( c + a )² / ( c + a − b ) : c ( a + b )² / ( a + b − c )

=( ( sin A cos ( B/2 − C/2 ) )² : ( sin B cos (C/2 − A/2) )² : ( sin C cos (A/2 − B/2) )² )

См. также

• Аполлоний Пергский
• Геометрия треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Задача Аполлония
• Изодинамические центры = Isodynamic point (англ.)
• Окружность Аполлония
• Окружность Парри
• Теорема Аполлония
• Точки Торричелли
• Точка Ферма
• Треугольник
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником

Ссылки

• Moon, Tarik Adnan (2010), "The Apollonian circles and isodynamic points" (PDF), Mathematical Reflections (6).