Теорема об обратной функции

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема обобщается на вектор-функции. Есть также варианты теоремы об обратной функции для голоморфных функций, для гладких отображений между многообразиями, для гладких функций между Банаховыми пространствами.

Формулировка

Вещественнозначная функция

Для функции одной переменной, теорема гласит, что если $f$ является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке $a$, то $f$ обратима в окрестности $a$. Более того обратная функция является непрерывно дифференцируемой, и

${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}},$

Функции нескольких переменных

Для функции нескольких переменных, теорема гласит, что если общая производная от непрерывно дифференцируемой функции $F$ , определенной из открытого набора $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n}$ обратимой в точке $p$ (то есть Якобиан в $p$ не равно нулю), то $F$ функция является обратимой в окрестности $p$. То есть обратная функция к $F$ существует в некоторой окрестности города $F(p)$. Кроме того, обратная функция $F^{-1}$ является непрерывно дифференцируемой.

Замечания

• Вторая часть теоремы следует из правила дифференцирования композиции функций.
• Существование обратной функции $F$ эквивалентно высказыванию, что система $n$ уравнений $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ может быть решена $x_{1},\dots ,x_{n}$ при данных $y_{1},\dots ,y_{n}$ предполагая что $x$ и $y$ лежат в малых окрестностях $p$ и $F(p)$, соответственно.

Пример

Рассмотрим вектор-функцию с табличным значением $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

$\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

Матрица Якоби $F$ имеет вид

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix}}$

и её определитель

$\det[J_{F}(x,y)]=e^{2{\cdot }x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2{\cdot }x}{\cdot }\sin ^{2}y=e^{2{\cdot }x}.$

Заметим, что $e^{2x}\neq 0$ в любой точке. По теореме, для каждой точки $p\in \mathbb {R} ^{2}$, существует окрестность на которой $F$ является обратимой.

• Заметим, что $F$ необратима на всей области. Действительно,

  $f(x,y)=f(x,y+2\pi )$

для любых $(x,y)$. В частности $F$ не является инъективной

Вариации и обобщения

Бесконечномерный случай

В бесконечномерном случае необходимо дополнительно потребовать, что производные Фреше в точке $p$ имеют ограниченный обратный.

Многообразия

Теорема об обратной функции обобщается на гладкие отображений между гладкими многообразиями. Пусть $F:M\to N$ гладкое отображение, между гладкими многообразиями. Предположим дифференциалом,

$d_{p}F:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

в тоске $p$ является линейным изоморфизмом. (В частности $\dim M=\dim N$.) Тогда существует открытая окрестность $U\ni p$ такaая, что

$F|_{U}:U\to F(U)$

является диффеоморфизм.

Банаховы пространства

Пусть $X$ и $Y$ Банаховы пространства и $U$ открытая окрестность $0\in X$. Предположим отображение $F:U\to Y$ непрерывно дифференцируемо и его дифференциал $d_{0}F:X\to Y$ является ограниченный линейным изоморфизмом $X\to Y$. Тогда существует открытая окрестность $V\ni F(0)$ и непрерывно дифференцируемое отображение $G:V\to X$ такое, что $F(G(y))=y$ для всех $y$ в $V$.

Банаховы многообразия

Эти два направления обобщения могут быть объединены в обратной функции теорема для Банаховых многообразий.

См. также

• Теорема о неявной функции

Ссылки

• Зорич В. А. Математический анализ, любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
• Lang, Serge. Differential and Riemannian Manifolds. — Springer, 1995. — ISBN 0-387-94338-2.
• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. — New York : Springer, 1999. — ISBN 978-0-387-98593-0.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969—980. doi:10.2307/2319298.
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations. — Second. — New York : Springer-Verlag, 2004. — P. 337–338. — ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. — Third. — New York : McGraw-Hill Book Co., 1976. — P. 221–223.