Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны

  $|AB|=|CD|$, $|AD|=|BC|$.

• Противоположные углы параллелограмма равны

  $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D.$

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

  $|AO|=|OC|$, $|BO|=|OD|$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон

  $|AC|^{2}+|BD|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}.$

Доказательства

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
2. Противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
3. Две противоположные стороны равны и параллельны (|AB| = |CD|, AB || CD).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).

Доказательства

• Пусть четырёхугольник ABCD такой что:

Площадь

Площадь параллелограмма можно найти по следующим формулам:

$S_{ABCD}=|AD|\cdot h_{AD}=|AB|\cdot |AD|\sin \alpha ={\frac {1}{2}}|AC|\cdot |BD|\sin \beta .$

См. также

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид