Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть неотрицательная случайная величина $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , и её математическое ожидание $\mathbb {E} X$ конечно. Тогда

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a}}

,

где $a>0$ .

Если в неравенство подставить вместо случайной величины $X$ случайную величину $(X-\mathbb {E} X)^{2}$ , то получим неравенство Чебышёва:

\mathbb {P} (|X-\mathbb {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.

И наоборот, представив неотрицательную случайную величину $X$ в виде квадрата другой случайной величины $X=Y^{2}$ , такой что $\mathbb {E} Y=0$ , из неравенства Чебышева для $Y$ получим неравенство Маркова для $X$ . Подходящая случайная величина $Y$ определяется так: $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (X>a)/2$ , $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$ .

Примеры

1. Пусть $X\geqslant 0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a=2\mathbb {E} X$ , получаем

\mathbb {P} (X\geqslant 2\mathbb {E} X)\leqslant {\frac {1}{2}}

.

2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова: