Псевдоевклидово пространство

Псевдоевклидово пространство — конечномерное вещественное пространство с невырожденной индефинитной метрикой.

Запись расстояния в ортонормированном репере и сигнатура

Выбором репера всегда можно добиться того, чтобы расстояние между точками n-мерного псевдоевклидова пространства с координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ записывалось в виде

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{m+1}-y_{m+1})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.$

Реперы (а также отвечающие им базисы) с таким свойством называются ортонормированными^[1]. Такое пространство обычно обозначается $\mathbb {R} ^{n,n-m}$ . Пара чисел $(m,n-m)$ (задающая количество базисных векторов вещественной и чисто мнимой длины, соответственно) не зависит от выбора ортонормированного базиса и называется сигнатурой псевдоевклидова пространства. Псевдоевклидовы пространства с различными сигнатурами неизометричны друг другу. Однако пространство с сигнатурой $(m,n-m)$ может быть превращено в пространство с сигнатурой $(n-m,m)$ заменой знака скалярного произведения, и потому различия между такими пространствами обычно не проводят: в частности, пространство Минковского в разных источниках определяется и как пространство сигнатуры $(1,3)$ , и как пространство сигнатуры $(3,1)$ . Таким образом, каждой размерности $n$ отвечает $\left[n/2\right]$ (где прямые скобки означают взятие целой части) различных $n$ -мерных псевдоевклидовых пространств.

Изотропные направления

Особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину. Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются изотропными. В частности, псевдоевклидова плоскость обладает ровно двумя несовпадающими изотропными направлениями. Изотропные прямые псевдоевклидова пространства, проведённые через произвольно фиксированную точку, образуют конус с вершиной в этой точке.

Окружности и сферы

С точки зрения геометрии псевдоевклидовой плоскости, окружностями произвольного ненулевого (вещественного или чисто мнимого) радиуса являются гиперболы. Аналогично, в трёхмерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры $(2,1)$ сферами ненулевого вещественного радиуса являются однополостные гиперболоиды, а сферами ненулевого чисто мнимого радиуса — двуполостные гиперболоиды. Дабы подчеркнуть отличие таких гиперповерхностей от обычных евклидовых сфер (в частности, отсутствие компактности), их называют иногда псевдосферами.

По своим геометрическим свойствам каждая из двух «половин» псевдосферы мнимого радиуса в $n+1$ -мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры $(n,1)$ представляет собой n-мерное пространство Лобачевского.