Липшицево отображение

Липшицево отображение — отображение $f:X\to Y$ между метрическими пространствами $(X,d)$ и ($Y,\rho )$ удовлетворяющее условию

$\rho (f(x),f(y))\leq Ld(x,y)$

Для некоторой вещественной константы $L$ и всех $x,y\in X$. Здесь $|**|_{X}$ обозначает метрику в пространстве $X$.

Связанные определения

• Отображение удовлетворяющее вышеприведённому условию называется также L-липшицевым.
  • 1-Липшецево отображение называют также коротким отображением
• Нижиняя грань чисел $L$ удовлетворяющих вышепривеённому неравенству назыветса константой Липшица отображения $f$.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

История

Отображения с со свойством

$|f(x)f(y)|\leq L|xy|^{\alpha },\ \alpha \leq 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ условием Гёльдера.