Формула трубки

Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма $r$-окрестности подмногообразия как многочлен от $r$. Предложена Германом Вейлем.

Формулировка

Пусть $M$ замкнутое $m$-мерное подмногообразие в $n$-мерном евкидовом пространстве. Обозначим через $M_{r}$ $r$-окрестность $M$. Тогада для всех достаточно малых положительных значений $r$ выполняется равенство

$V(M_{r})=\sum _{m\leq 2i\geq 0}V_{i}r^{n-m+i},$

где $V(M_{r})$ — объём $M_{r}$ и

$V_{i}=C(m,n,i)\cdot \int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )$

для некоторого однородного многочлена $p_{i}$ степени $i$ и константы $C(m,n,i)$.

Выражение $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ это так называемая кривизна Липшица — Килинга, она равна среднему пфафиану тензора кривизны по всем $(2\cdot i)$-мерным подпространствам касательного пространства.

Замечания

• $V_{0}$ равен произведению объёма $M$ на $\omega _{n-m}$ — объём единичного шара в $(n-m)$-мерном евклидовом пространстве.;
• Если размерность $M$ чётна, $m=2\cdot k$, то старший коеффициент в многочлене равен

  $\omega _{n}\cdot \chi (M),$

где $\chi (M),$ — эйлерова характеристика $M$, $\omega _{n}$ — объём единичного шара в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Следствия

• Для гладких замкнутой поверхности $M$ в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство

  $V(M_{r})=S(M)\cdot r+2\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$

• Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны то объёмы их $r$-окрестностей совпадают для всех малых положительных $r$.

Вариации и обобщения

• Формула полутрубки для гиперповерхностей выражет объём односторонней $r$-окрестности $M_{r}^{+}$, она также является многочленом от $r$ но не все коеффициенты зависят от внутерннией кривизны. В частности для поверхностей в 3-мерном пространстве формула полутрубки принимает вид

  $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+2\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

где $H$ обозначает среднюю кривизну.

Смотри также

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне
• Смешанный объём

Ссылки

• Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula