Цилиндрическая волна

Цилиндрическая волна — модель волнового процесса, волна, радиально расходящийся от некоторой оси в пространстве или сходящийся к ней. Частным случаем цилиндрической волны на плоскости является круговая волна.

Фронт цилиндрической волны — цилиндрическая поверхность, на оси которой расположен источник, например, имеющий форму нити, то есть бесконечно тонкий и прямолинейный. Распространение фронта такой волны в пространстве можно сравнить с цилиндрической поверхностью, непрерывно увеличивающей свой радиус. Примером цилиндрической волны может служить волновой процесс на поверхности воды от колеблющегося поплавка, а также электромагнитная волна, создаваемая в ближней зоне линейной синфазной антенной.

Определение

Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна с источником в центре удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью функции Ганкеля нулевого порядка:

u(r,t)=H_{0}(kr)\cdot e^{i\omega t},

(1.1)

где

H_{0}(kr)

— функция Ганкеля нулевого порядка;

i

— мнимая единица;

\omega

— круговая частота;

k

— волновое число;

r

— расстояниях от оси.

На больших расстояниях от оси — то есть при $kr\rightarrow 1$ волновое поле (1.1) приобретает вид

u({\overrightarrow {r}},t)={\cfrac {u_{0}}{\sqrt {r}}}\cdot e^{i(\omega t-kr)}.

(1.2)

Свойства

По мере удаления от осциллятора амплитуда убывает гиперболически;
Так как площадь боковой поверхности цилиндра $\thicksim r$ , то поток функции $u(r,t)$ остаётся постоянным;
В форме записи (1.2) можно выделить амплитуду волны ${\cfrac {A}{\sqrt {r}}},$ фазу $\omega t-kr=\omega (t-{\cfrac {r}{u_{\Phi }}}),$ где $u_{\Phi }$ — фазовая скорость плоской волны.