Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},$

в котором коэффициенты ${a_{n}}$ принадлежат некоторому кольцу ${R}$. В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ($+$), умножения ($\cdot$), формального дифференцирования ($'$) и композиции ($\circ$) следующим образом. Пусть:

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.$

Тогда:

$H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}$;

$H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}$;

$H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}$;

$H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}$ (при этом необходимо, чтобы $b_{0}=0$).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом $R$ сами образуют кольцо, обозначаемое $R[[X]]$.

Топология

В кольце $R[[X]]$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

$d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},$

где k наименьшее натуральное число такое, что $a_{k}\neq b_{k}$.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

в R[[X]] является обратимым тогда и только тогда, когда a₀ является обратимым в R. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен $a_{0}b_{0}$, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда определяются по формуле:

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}}\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad \forall n\geq 1.\end{aligned}}$

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы M, для которых M ∩ R является максимальным идеалом в R и M есть порождение X и M ∩ R.
• Если R является локальным кольцом, то локальным кольцом является также R[[X]]
• R — нётерово кольцо, то также R[[X]] является кольцом Нётер.
• Если R — область целостности, то R[[X]] также будет областью целостности.
• Метрическое пространство (R[[X]], d) является полным.
• Кольцо R[[X]] является компактным тогда, когда кольцо R является конечным.

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.