Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

Функция кватернионного переменного $f\colon {\mathbb {H}}\to {\mathbb {H}}$ называется регулярной, если

${\bar {\partial }}f=0$

Гармонические функции

Пусть ${\bar {\partial }}f=0$, тогда и $\partial {\bar {\partial }}f=0$. Несложно проверить, что оператор $\partial {\bar {\partial }}$ имеет вид

$\partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}$

и совпадает с оператором Лапласа в ${\mathbb {R}}^{4}$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в ${\mathbb {R}}^{4}$. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau \colon {\mathbb {R}}^{4}\to {\mathbb {R}}$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau =\operatorname {Scal} \,f$. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений

Пусть $y=f(x)$ - функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y'_{l}$ в точке $x=a$ как такое число, что

$f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)$

где $o(h)$ - бесконечно малая от $h$ , то есть

$\lim _{h\to 0}{\frac {\|o(h)\|}{\|h\|}}=0$ .

Множество функций, которые имеют левую производную ограничено. Например, такие функции, как

$y=axb$

$y=x^{2}$

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

$a(x+h)b-axb=ahb$

$(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}$

Нетрудно убедиться, что выражения $ahb$ и $xh+hx$ являются линейными функциями кватерниона $h$. Это наблюдение является основанием для следующего определения.

Непрерывное отображение $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ называется дифференцируемым на множестве $U\subset \mathbb {H}$, если в каждой точке $x\in U$ изменение отображения $f$ может быть представлено в виде

$f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)$

где

${\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

линейное отображение алгебры кватернионов $\mathbb {H}$ и $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ такое непрерывное отображение, что

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0$

Линейное отображение ${\frac {df(x)}{dx}}$ называется производной отображения $f$.

Производная может быть представлена в виде

${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$

Соответственно дифференциал отображения $f$ имеет вид

${\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$. Число слагаемых зависит от выбора функции $f$. Выражения ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx}}$ и ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$ называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

${\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}$

${\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}$

${\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)$

${\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b$

${\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b$

Если $y=axb$, то

${\frac {df(x)}{dx}}\circ h=ahb$

${\frac {d_{10}axb}{dx}}=a$

${\frac {d_{11}axb}{dx}}=b$

Если $y=x^{2}$, то

${\frac {df(x)}{dx}}\circ h=xh+hx$

${\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x$	${\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1$
${\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1$	${\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x$

Литература

• D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions  (англ.)
• A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
• В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3–68

См. также

• Комплексный анализ