Интервал (теория относительности)

Интервал в теории относительности — расстояние между двумя событиями в пространстве-времени. Интервал не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, что позволяет чисто формально получить преобразования Лоренца как группу преобразований, сохраняющих интервал. Также инвариантность интервала служит основой для введения пространста Минковского, в котором смене инерциальных систем отсчета соответсвуют "вращения" этого пространства.

Интервал является одним из фундаментальных физических понятий. Он лежит в основе специальной и общей теорий относительности. Свойство теории сохранять интервал при смене инерциальной системы отсчета называется Лоренц-инвариантностью.

Определение

Квадрат интервала - это симметричная билинейная форма на конфигурационном 4-хмерном многообразии пространства-времени. В случае псевдоевклидова пространства-времени Минковского он имеет вид:

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

Обычно интервал обозначается латинской буквой S.

В общей теории относительности используется обобщенное понятие интервала, дающее естественное обобщение расстояния между двумя точками. Вводится метрический тензор $g_{ik}$, от которого требуется лишь симметричность и невырожденность. Выражение для квадрата интервала приобретает вид:

$\!ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j},~~i,j=1\dots 4$,

где $dx^{i}$ - дифференциалы координат, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Обратим внимание, что таким образом опреденная метрика не будет положительно определенной формой, как обычно требуется. Напротив, существует бесконечно много линий, имеющих нулевую длину, т.к. вдоль них интервал оказывается вырожденным. Многообразие с определенным интервалом называется псевдоримановым.

Инвариантность интервала

Используемые постулаты

Напрямую принципа относительности, однородности и изотропности пространства, а также однородности времени следует, что при переходе от одной ИСО (инерциальной системы отсчета) к другой ИСО интервал остается неизменным. Именно это его свойство позволяет формально вывести преобразования Лоренца и обосновывает оправданность введения пространства Минковского и неримановой метрики.

Особо подчеркнем, что для приведенного доказательства инвариантность скорости света значения не имеет! Важно лишь, что максимальная скорость распространения взаимодействий сущесвтует и одинакова во всех системах отсчета. Одинаковость этой скорости следует из принципа отосительности. Для краткости, в дальнейшем доказательстве под интервалом будем подразумевать интервал между двумя бесконечно близкими в пространстве и времени событиями, а под скоростью света - максимально возможную скорость распространения взаимодействий. Оказывается, что свет распространяется именно с такой скоростью, обозначаемой C.

Доказательство

Сначала покажем, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной ИСО, то он равен нулю в любой ИСО. Действительно, пусть в ИСО K событие 1 произошло в точке $x_{1},y_{1},z_{1}$ в момент времени $t_{1}$, а событие 2 - в точке $x_{2},y_{2},z_{2}$ в момент $t_{2}$. По условию интервал между ними равен 0, т.е.

$\ c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0$

Это значит, что если из точки 1 испустить в точку 2 сигнал, движущийся со скоростью света, то он окажется в точке 2 через время $t_{2}-t_{1}$. Но ясно, что факты испускания и получения сигнала не могут зависеть от системы отсчета. Значит, для событий 1 и 2, рассматриваемых в системе отсчета K', можно записать аналогично

$\ c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'})^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^{2}=0$

Это и доказывает, что равенство интервала нулю не зависит от ИСО.

Для дальнейшего вспомним, что мы рассматриваем интервал между бесконечно близкими событиями, следовательно, он должен быть бесконечно малой величиной. В силу однородности и изотропности пространства и однородности времени при смене ИСО новый интервал может быть лишь функцией старого интервала и скорости новой ИСО в старой ИСО, он не может зависеть от координат точки или момента времени. При смене ИСО к интервалу не может прибавляться слагаемое, не зависящее от интервала в старой ИСО, т.к. если в одной ИСО интервал равен 0, то и в другой ИСО он тоже 0. Значит, оба интервала будут бесконечно малы. Так как интервалы бесконечно малы, то они должны быть пропорциональны, как бесконечно малые одного порядка. Значит, при смене ИСО интервал преобразуется по правилу

$ds_{2}^{2}=k({\vec {V}})ds_{1}^{2}$

В силу изотропности пространства k не может зависеть от направления скорости, только от ее модуля. Рассмотрим три ИСО. Пусть ИСО 1 и 2 движутся относительно ИСО 3 со скорстями V₁ и V₂ соответсвенно. Тогда для интервалов в различных ИСО:

$ds_{1}^{2}=k(V_{1})ds_{3}^{2}$

$ds_{2}^{2}=k(V_{2})ds_{3}^{2}$

$ds_{2}^{2}=k(|{\vec {V}}_{1}-{\vec {V}}_{2}|)ds_{1}^{2}$

${\frac {ds_{2}^{2}}{ds_{1}^{2}}}={\frac {k(V_{2})}{k(V_{1})}}=k(|{\vec {V}}_{1}-{\vec {V}}_{2}|)$

Но отношение ${\frac {k(V_{2})}{k(V_{1})}}$ не зависит от направлений скоростей, а $k(|{\vec {V}}_{1}-{\vec {V}}_{2}|)$ - зависит. Равенство между ними возможно лишь тогда, когда

$k(V)-const$

Отсюда получаем, что

$k(V)=1$

и интервал не меняется при смене ИСО.

Смысл знака квадрата интервала

• Если $ds^{2}\geq 0$, то интервал называется времениподобным. Времениподобный интервал между событиями означает, что существует такая система отсчёта, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Что еще более важно, времениподобный интервал между событиями означает, что они могут быть причинно связаны. Легко убедиться, что для причинно связанных событий $ds^{2}\geq 0$, т.к. любое взаимодействие распространяется со скоростью не большей C, причем $ds=0$ соответсвует событиям, связанным сиигналом, распространяющимся со скоростью света. Этот сигнал не обязан быть именно световым, это может быть гравитационная волна, вообще любая безмассовая частица или даже еще не открытое взаимодействие. Существенно лишь, что существует максимальная скорость распространения взаимодействия, одинаковая для всех систем отсчета и равная, как следует из уравнений Максвелла, скорости света.

• Если $ds^{2}\leq 0$, то интервал называется пространственноподобным, и значит можно выбрать такую инерциальную систему отсчёта, в которой оба события произошли в одно и то же время. Пространственноподобные события, как указано выше, не могут быть причинно связанными, так как даже распространяющийся по прямой сигнал должен бы был для этого двигаться быстрее скорости света.

• Если же $ds^{2}=0$, то интервал называется светоподобным. Направления в пространстве Минковского, вдоль которых интервал равен 0, наываются изотропными. Также изотропными называются многообразия, для которых форма $ds^{2}$ тождественно равна 0. Свет распространяется всегда вдоль изотропных направлений.

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.: Теория поля

См. также

• Мировая линия
• Собственное время