Лемма Гаусса о квадратичных вычетах

Лемма Гаусса позволяет определять является ли число квадратичным вычетом по модулю простого числа.

Формулировка

Возьмем простое $p$ и натуральное $a$ такое что $(a,p)=1$ . Посмотрим на остатки чисел $a,2a,3a...{\frac {p-1}{2}}*a$ по модулю $p$ . Пусть среди них $v$ остатков больших чем ${\frac {p}{2}}$ , тогда $\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{v}$ .

Доказательство

Заметим что $a*2a*3a*....*{\frac {p-1}{2}}*a\equiv \left({\frac {p-1}{2}}\right)!*a^{p-1/2}{\pmod {p}}$ . Заменим числа $k*a$ большие чем ${\frac {p}{2}}$ по модулю $p$ на $(-1)*(p-k*a)$ . Тогда слева вынесем $(-1)^{v}$ и получим произведение некоторых ${\frac {p-1}{2}}$ чисел по модулю $p$ которые различны по модулю $p$ ( $(m\pm n)*a\not \equiv 0{\pmod {p}}$ ) и дают остаток меньше ${\frac {p}{2}}$ , значит это произведение сравнимо с $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ . Тогда мы можем сократить наше сравнение на $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ и получим что $(-1)^{v}\equiv a^{p-1/2}{\pmod {p}}$ .По критерию Эйлера $a^{p-1/2}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}$ .^[1]