Теорема Лагранжа (теория групп)

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна, и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).

Следствия

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы $H$ в $G$ одинаково и называется индексом подгруппы $H$ в $G$ (обозначается $[G:H]$).
2. Порядок любой подгруппы конечной группы $G$ делит порядок $G$.
3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы $G$ делит порядок $G$. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
4. Группа порядка $p$, где $p$ — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок $p$, и значит, каждый из них порождает группу.)
5. ???
6. PROFIT!

История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также

• Теоремы Силова