Уровни Ландау

Уровни Ландау

Уровни Ландау — энергетические уровни заряженной частицы в магнитном поле. Впервые получены как решение уравнения Шрёдингера для заряженной частицы в магнитном поле Л. Д. Ландау в 1930 году. Решением этой задачи являются волновые функции электрона в гармоническом потенциале. Уровни Ландау играют существенную роль во всех кинетических явлениях в присутствии магнитного поля.

Вводные замечания

Классический случай

В классической механике движение частиц подчиняется второму закону Ньютона: ускорение равно силе, поделённой на массу, и направлено вдоль вектора силы. Сила, действующая на частицу в магнитном поле (сила Лоренца), пропорциональна произведению скорости движения частицы, напряжённости магнитного поля, заряду частицы, и синусу угла между направлением движения частицы и направлением магнитного поля. Направление силы перпендикулярно направлению магнитного поля и направлению движения частицы, и определяется правилом левой руки. Это правило можно проиллюстрировать простыми примерами:

• если частица движется вдоль магнитного поля, сила, действующая на неё, равна нулю
• если частица не заряжена, сила, действующая на неё, равна нулю
• если магнитного поля нет, сила, действующая на частицу, равна нулю
• если магнитное поле удвоить, сила, действующая на частицы, удвоится
• если скорость частицы увеличится в 10 раз (а направление движения останется тем же), сила, действующая на неё, тоже увеличится в 10 раз
• если частица движется поперёк магнитного поля, а другая, с тем же зарядом и с той же скоростью — под углом 30° к магнитному полю, сила, действующая на вторую частицу, в 2 раза меньше (потому что sin 30° = 1/2) .

Заряженная частица в постоянном магнитном поле будет или вращаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, или двигаться по винтовой линии, причём ось спирали параллельна оси магнитного поля. Частица может иметь какую угодно энергию, и радиус окружности или спирали может быть каким угодно. Это было известно ещё в XIX веке.

Квантовый случай

В квантовой механике у частиц нет определённой координаты и можно говорить только о вероятности найти частицу в некоторой области пространства. Состояние частицы описывается волновой функцией, а динамика частицы (или системы частиц) описывается не вторым законом Ньютона, а гораздо более сложным уравнением Шредингера. (Уравнение Шредингера справедливо только в нерелятивистском случае, то есть когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света, в противном случае действует ещё более сложное уравнение Дирака).

Характерной особенностью уравнения Шредингера является то, что его собственные значения могут быть дискретны. Например, планеты могут обращаться вокруг Солнца на орбитах с любым радиусом и могут иметь непрерывный набор значений энергии, а электрон в атоме водорода в квазиклассическом приближении «обращается» вокруг протона на орбитах с определёнными радиусами и может обладать только некоторыми разрешенными энергиями, представленными в энергетическом спектре.

С открытием законов квантовой механики возник вопрос: что происходит с движением частиц в магнитном поле в квантовомеханическом случае? Для решения этого вопроса необходимо решить уравнение Шредингера. Впервые это сделал 1930 году советский физик Ландау. Оказалось, что вдоль магнитного поля частица может двигаться с любой скоростью; но при заданной проекции скорости поперек магнитного поля частица может занимать дискретные энергетические уровни. Эти уровни были названы уровнями Ландау.

Ниже приводится уравнение Шредингера и его решения, причём:

• Уравнение (1) описывает энергетические уровни частицы
• Уравнение (3) является уравнением Шредингера в магнитном поле.
• Уравнение (7) описывает волновые функции
• Уравнение (10) описывает энергетические уровни частицы, когда есть не только магнитное поле, но и электрическое
• Уравнение (11) описывает энергетические уровни частицы в двумерном пространстве.

Трёхмерный случай

Энергетический спектр для электрона (значение энергии в зависимости от его состояния) в магнитном поле в трёхмерном случае представляется в простом виде

$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\qquad (1)$

где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка, $\omega _{c}={\frac {eB}{mc}}$ — циклотронная частота (СГС), $B$ — внешнее магнитное поле, $c$ — скорость света в вакууме, $e$ — элементарный электрический заряд, $m$ — масса электрона, $k_{z}$ — волновой вектор в направлении ${\overrightarrow {z}}$, которое принято за направление магнитного поля. Здесь энергетический спектр $(1)$ легко интерпретировать. Движение вдоль магнитного поля, где магнитное поле не влияет на заряженную частицу, представлено плоскими волнами, как для свободной частицы с волновым вектором $k_{z}$. Движение в направлении, перпендикулярном магнитному полю, ограничено, и энергетический спектр полностью квантован. Хотя движение частицы происходит в трёхмерном пространстве, энергетический спектр зависит только от двух квантовых чисел: непрерывного $k_{z}$ и дискретного $n$. Это означает, что спектр частицы является вырожденным. В трёхмерном случае наблюдается двукратное вырождение энергии по проекции волнового вектора на направление магнитного поля $\pm k_{z}$. В дополнение к этому имеется вырождение уровня Ландау, равное

$N_{L}={\frac {eBS}{hc}},\qquad (2)$

где $h$ — постоянная Планка. Кратность вырождения каждого из уровней Ландау равна отношению площади сечения образца плоскостью, перпендикулярной магнитному полю, к площади круга с радиусом равным магнитной длине $l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB}}}$, что является характерным размером области высокой вероятности нахождения частицы.

Кроме того, для свободных электронов в трёхмерном пространстве наблюдается приблизительное двукратное вырождение уровней энергии по спину. Это вырождение, однако, нетривиально, поскольку для него требуется, чтобы уровень Ландау для электрона со спином вниз в точности совпадал с уровнем Ландау для электрона со спином вверх плюс магнитный момент электрона на магнитное поле. Другими словами, требуется, чтобы g-фактор для электрона был в точности равен двойке (это, как показывает квантовая электродинамика, не совсем так). Это требование тем более не выполняется для электронов — квазичастиц в твёрдых телах (эффективная масса электрона и его магнитный момент мало связаны). Тем не менее, задача об электроне со спином и g-фактором равным 2 представляет некоторый теоретический интерес, поскольку её можно представить как задачу, обладающую суперсимметрией (см. Генденштейн Л. Э., Криве И. В. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. 1985. Т. 146, Вып. 4).

О решении уравнения Шрёдингера для электрона в магнитном поле

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в магнитном поле представлено в виде

${\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)$

где ${\hat {\mathbf {p} }}$ и ${\hat {\mathbf {A} }}$ — оператор импульса электрона и векторный потенциал магнитного поля соответственно, $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ — волновая функция электрона, $E_{n}$ — энергия и индекс $n$ обозначает n-ый уровень Ландау. В калибровке Ландау уравнение $(3)$ запишется в виде

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x,y,z).\qquad (4)$

Чтобы разделить переменные в этом уравнении, решение удобно искать в виде произведения трёх функций

$\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y}}}}e^{ik_{z}z}e^{ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)$

где $L_{z}$ и $L_{y}$ — размеры системы, $k_{z}$ и $k_{y}$ — волновые векторы, индекс $k_{y}$ у волновой функции $\psi _{n,k_{y}}(x)$ означает, что она зависит от него как от параметра. Подставляя $(5)$ в $(4)$ получим одномерное уравнение для $\psi _{n,k_{y}}(x)$

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=\epsilon _{n}\psi _{n,k_{y}}(x).\qquad (6)$

Это уравнение — не что иное, как уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора со сдвигом минимума потенциала. Таким образом, решения запишутся в виде

$\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H}}}}e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)$

где $H_{n}(x)$ — многочлен Эрмита порядка $n$.

О влиянии электрического поля

Теперь рассмотрим влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в магнитном поле. Перепишем уравнение $(6)$ с учётом электрического поля $\varepsilon$, направленного по $x$

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)$

которое после выделения полного квадрата представляется в виде

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (9)$

где $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {v_{d}}{\omega _{c}}}$ и $v_{d}=c{\frac {\varepsilon }{B}}$. Мы видим из гамильтониана, что электрическое поле просто сдвигает центр волновой функции. Энергетический спектр задаётся следующим выражением:

$E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}-{\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)$

Двумерный случай

В двумерном случае движение по одной из осей (например, оси z) квантовано. В этом случае спектр электронов состоит из эквидистантных уровней (с расстоянием между уровнями $\hbar \omega _{c}$, где $\omega _{c}$ определяется из компоненты магнитного поля вдоль оси z). Энергия электрона есть

$E(n,m)=E_{m}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)$

где $E_{m}$ — энергия электрона, связанная с движением вдоль оси z. А так как ось z отсутствует в данном случае, то $E_{m}=0$:

$E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (12)$

Литература

• Ландау уровни // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.