Золотое сечение

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … $F_{n+1}/F_{n}$, где $F_{n}$ — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

---

Первая тысяча знаков значения Φ.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин b и a, a > b, когда справедливо a/b = (a+b)/a. Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой $\Phi$, в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой $\tau$. Из исходного равенства нетрудно получить, что число

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой $\varphi$,

$\varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Отсюда следует, что

$\varphi =\Phi -1$.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением $\Phi$ = 1,618 или $\Phi$ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Иллюстрация к определению

Число $\Phi$ называется также золотым числом.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этом отношении «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года. В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.

Математические свойства

• $\Phi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^{2}-x-1=0$, откуда, в частности, следуют соотношения:

  $\Phi ^{2}-\Phi =1,$

  $\Phi \cdot (\Phi -1)=1.$

• $\Phi$ — представляется через тригонометрические функции:
  • $\Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.$
  • $\Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.$

• При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение

${\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.$

• $\Phi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  $\Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}.$

• $\Phi \;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  $\Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$. Таким образом,

• $\Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.$

• Мера иррациональности $\Phi$ равна 2.

Отрезание квадрата от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон $\Phi =a/b$, что и у исходного прямоугольника $\Phi =(a+b)/a$.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны $\Phi$. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно $\Phi$.

Построение золотого сечения

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $AB$, откладывают на нём отрезок $BC$, равный половине $AB$, на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD$, равный $BC$, и наконец, на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE$, равный $AD$. Тогда

$\Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.$

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — начертить сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE=DE=1/2. От точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ВE=СE=${\frac {\sqrt {5}}{2}}$. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=СЕ=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной $\Phi$. Так как DH=EH-ED, другим результатом будет отрезок DH длиной $\varphi$.

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дроби после запятой для $\Phi$, ${\frac {1}{\Phi }}$ и $\Phi ^{2}$ в любой системе счисления будут равны.
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi$

Тогда как $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}$

Золотое сечение в науке

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr.

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведенная на рисунке имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф.

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединенных последовательно пружинами одинаковой жесткости (см. рисунок).

Полностью эти две задачи рассматриваются в книге «В поисках пятого порядка», глава «Две простые задачки». Более сложные примеры на механические колебания и их обобщения рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, физиологии.

Золотое сечение сильно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7⁰ , то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет из себя ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Золотое сечение и гармония в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
• Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».
• Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Один из типов мозаики Пенроуза

Примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах. Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте).

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

Золотое сечение в биологии и медицине

Золотое сечение в природе

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов и др.

См. также

• Золотая спираль
• Пифагорейский пентакл
• Фибоначчиева система счисления
• Правило третей
• Метод золотого сечения
• Сверхзолотое сечение
• Золотой угол
• Числа Фибоначчи

Литература

• Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
• Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
• Мазель, Л.А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. – 1930. – № 2. – С. 24-33.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
• Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. — Crown/Archetype, 2008. — 303 с. — ISBN 9780307485526. Русский перевод в

Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — Litres, 2015-04-17. — 481 с. — ISBN 9785457762732.

• Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013. — 228 с. — ISBN 9780486152325.

Ссылки

• В. С. Белнин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• А. В. Радзюкевич, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
• А. В. Радзюкевич, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Golden ratio  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
• Функция Фибоначчи в Wolfram alpha