Линейное отображение

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции $y=kx$) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение

Линейным отображением векторного пространства $L_{K}$ над полем $K$ в векторное пространство $M_{K}$ над тем же полем $K$ (линейным оператором из $L_{K}$ в $M_{K}$) называется отображение

$f\colon L_{K}\to M_{K}$,

удовлетворяющее условию линейности

$f(x+y)=f(x)+f(y)$,

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$.

для всех $x,y\in L_{K}$ и $\alpha \in K$.

Если $L_{K}$ и $M_{K}$ — это одно и то же векторное пространство, то $f$ — не просто линейное отображение, а линейное преобразование.

Пространство линейных отображений

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля $K$ как

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in L_{K}$
• $(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in L_{K},\forall k\in K$

множество всех линейных отображений из $L_{K}$ в $M_{K}$ представит собой векторное пространство, которое обычно обозначается как ${\mathcal {L}}(L_{K},M_{K})$

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора

Если векторные пространства $L_{K}$ и $M_{K}$ являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что $\forall x\in L_{K},\|Ax\|_{M_{K}}\leqslant N\|x\|_{L_{K}}$. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

$\|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}.$

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство $M_{K}$ — банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор

Основная статья: Обратный оператор

Оператор $A^{-1}$ называется обратным линейному оператору $A$, если выполняется соотношение: $A^{-1}A=AA^{-1}=1$

Оператор $A^{-1}$, обратный линейному оператору $A$, также является линейным оператором. Если $A$ — линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис $\mathbf {e} _{k}$. Пусть $\mathbf {x}$ — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

$\mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} _{k}$,

где $x^{k}$ — координаты вектора $\mathbf {x}$ в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть $\mathbf {A}$ — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

$\mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} _{k}$.

Вектора $\mathbf {Ae} _{k}$ также разложим в выбранном базисе, получим

$\mathbf {Ae} _{k}=a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}$,

где $a_{k}^{j}$ — $j$-я координата $k$-го вектора из $\mathbf {Ae} _{k}$.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

$\mathbf {Ax} =x^{k}a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}=(a_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} _{j}$.

Выражение $a_{k}^{j}x^{k}$, заключённое в скобки, есть не что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица $a_{k}^{j}$ при умножении на столбец $x^{k}$ даёт в результате координаты вектора $\mathbf {Ax}$, возникшего от действия оператора $\mathbf {A}$ на вектор $\mathbf {x}$, что и требовалось получить.

Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов $\mathbf {e} _{k}$. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается строго упорядоченным.

Пример преобразования

Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,$

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d). Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы A на каждый вектор-столбец ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$. Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R². Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.

Горизонтальный сдвиг (m=1.25)	Горизонтальное отражение	Сжатие[неизвестный термин] (r=3/2)	Гомотетия (3/2)	Поворот (π/6R = 30°)
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}$

Важные частные случаи

• Линейная форма — линейный оператор, для которого $M=K$:
      $f\colon L_{K}\to K$
• Линейный эндоморфизм — линейный оператор, для которого $L=M$:
      $f\colon L_{K}\to L_{K}$
• Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор $x\mapsto x$, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент $L_{K}$ в нулевой элемент $M_{K}$.
• Проектор — оператор сопоставляющий каждому $x$ его проекцию на подпространство.
• Сопряжённый оператор к оператору $A\in L(V)$ — оператор $A^{*}$ на $V^{*}$, заданный соотношением $A^{*}f(x):=f(Ax)$.
• Самосопряжённый оператор — оператор на гильбертовом пространстве, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
• Эрмитов или симметрический оператор — такой оператор $A$, определённый на подпространстве гильбертова пространства, что $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех пар $x,y$ из области определения $A$. Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
• Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение $(Ax,Ay)=(x,y)$; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$. Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором $A^{-1}=A^{*}$; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным.
• Положительно определённый оператор. Пусть $L_{K},\ M_{K}$ — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если $\forall x\in X\;(Ax,x)>0.$

Связанные понятия

• Образом подмножества $M\subset L_{K}$ относительно линейного отображения A называется множество $AM=\{Ax:x\in M\}$.
• Ядром линейного отображения $f\colon A\to B$ называется подмножество $A$, которое отображается в нуль:

  ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in A\mid f(x)=0\}$

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $A$.

• Образом линейного отображения $f$ называется следующее подмножество $B$:

  ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in B\mid x\in A\}$

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве $B$.

• Отображение $f\colon A\times B\to C$ прямого произведения линейных пространств $A$ и $B$ в линейное пространство $C$ называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
• Оператор ${\tilde {L}}$ называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид

  ${\tilde {L}}=L+v$

где $L$ — линейный оператор, а $v$ — вектор.

• Пусть $A:L_{K}\to L_{K}$. Подпространство $M\subset L_{K}$ называется инвариантным относительно линейного отображения, если $\forall x\in M,Ax\in M$.

Критерий инвариантности. Пусть $M\subset X$ — подпространство,такое что $X$ разлагается в прямую сумму: $X=M\oplus N$. Тогда $M$ инвариантно относительно линейного отображения $A$ тогда и только тогда, когда $P_{M}AP_{M}=AP_{M}$, где $P_{M}$ — проектор на подпространство $M$.

• Фактор-операторы. Пусть $A:L_{K}\to L_{K}$ — линейный оператор и пусть $M$ — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем факторпространство $L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }}$ по подпространству $M$. Тогда фактор-оператором называется оператор $A^{+}$ действующий на $L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }}$ по правилу: $\forall x^{+}\in L_{K}/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]$, где $[Ax]$ — класс из фактор-пространства, содержащий $Ax$.
• Между двойственными пространствами задано идущее в обратную сторону двойственное отображение.

Примеры

Примеры линейных однородных операторов:

• оператор дифференцирования: $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}$;
• оператор интегрирования: $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$;
• оператор умножения на определённую функцию $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$;
• оператор интегрирования с заданным «весом» $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
• оператор взятия значения функции $f$ в конкретной точке $x_{0}$: $L\{f\}=f(x_{0})$;
• оператор умножения вектора на матрицу: $b=Ax$;
• оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

• Любое аффинное преобразование;
• $y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$;
• $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)$;
• $y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$;

где $\varphi (t)$, $\varphi _{1}(t)$, $\varphi _{2}(t)$ — вполне определённые функции, а $x(t)$ — преобразуемая оператором функция.

См. также

• Линейный непрерывный оператор
• Вполне непрерывный оператор
• Интегральный оператор Фредгольма
• Сопряжённый оператор
• Спектр оператора
• Оператор (математика)
• Выпуклый функционал

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.