Псевдоевклидово пространство

Псевдоевклидово пространство — конечномерное вещественное пространство с невырожденной индефинитной метрикой.

Запись расстояния в ортонормированном репере и сигнатура

Выбором репера всегда можно добиться того, чтобы расстояние между точками n-мерного псевдоевклидова пространства с координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ записывалось в виде

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{m+1}-y_{m+1})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.$

Реперы (а также отвечающие им базисы) с таким свойством называются ортонормированными^[1]. Такое пространство обычно обозначается $\mathbb {R} ^{n,n-m}$ . Пара чисел $(m,n-m)$ (задающая количество базисных векторов вещественной и чисто мнимой длины, соответственно) не зависит от выбора ортонормированного базиса и называется сигнатурой псевдоевклидова пространства. Псевдоевклидовы пространства с различными сигнатурами неизометричны друг другу. Однако пространство с сигнатурой $(m,n-m)$ может быть превращено в пространство с сигнатурой $(n-m,m)$ заменой знака скалярного произведения, и потому различия между такими пространствами обычно не проводят: в частности, пространство Минковского в разных источниках определяется и как пространство сигнатуры $(1,3)$ , и как пространство сигнатуры $(3,1)$ . Таким образом, каждой размерности $n$ отвечает $\left[n/2\right]$ (где прямые скобки означают взятие целой части) различных $n$ -мерных псевдоевклидовых пространств.

Изотропные направления

Особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину. Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются изотропными. В частности, псевдоевклидова плоскость обладает ровно двумя несовпадающими изотропными направлениями. Изотропные прямые псевдоевклидова пространства, проведённые через произвольно фиксированную точку, образуют конус с вершиной в этой точке.

Окружности и сферы

С точки зрения геометрии псевдоевклидовой плоскости, окружностями произвольного ненулевого (вещественного или чисто мнимого) радиуса являются гиперболы. Аналогично, в трёхмерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры $(2,1)$ сферами ненулевого вещественного радиуса являются однополостные гиперболоиды, а сферами ненулевого чисто мнимого радиуса — двуполостные гиперболоиды, асимптотикой которых служит конус изотропных прямых. Дабы подчеркнуть отличие таких гиперповерхностей от обычных евклидовых сфер (в частности, отсутствие компактности), их называют иногда псевдосферами.

По своим геометрическим свойствам каждая из двух «половин» псевдосферы мнимого радиуса в $n+1$ -мерном псевдоевклидовом пространстве сигнатуры $(n,1)$ представляет собой n-мерное пространство Лобачевского.