Метод галеры
Метод галеры (метод зачёркивания) — способ деления, который был самым используемым в Европе примерно до 1600-х годов, и продолжал быть популярным до конца XVIII века[4]. Своё название получил за схожесть записываемых при вычислении строк с силуэтом одноименного судна[4][3]. Метод возник на основе китайского и индийского методов. Метод упоминается у Аль-Хорезми в работах 825 года[4], у Луки Пачоли в 1492 году[3].
В отличие от предшествующих методов, в этом методе цифры не стирались, а зачёркивались[4]. Он похож на современный метод деления столбиком, однако в методе галеры вычитание частичных произведений проходило слева направо, а не справа налево, как в современных методах.
История
Арифметические действия с ростом разрядности чисел становятся весьма трудоемкими и чувствительными к механическим ошибкам, а деление — наиболее сложное из них. «Трудное дело — деление», гласила старинная латинская пословица[5].
Хотя в Европе деление считалось сложной операцией вплоть до XV века, в Китае и в Индии деление не считалось чем-то особенно сложным[4][6]. Метод деления упоминается в «Математике в девяти книгах» (II век н. э.) и подробно описан в Математическом трактате[англ.] Сунь Цзы (III—V век)[4]. Многие индийские труды по математике не описывают метода деления, предполагая его известным. Например, о методе деления не пишет Ариабхата (499 год), хотя несомненно метод деления был известен его читателям, так как Ариабхата описывает метод извлечение корней, который требуют деления. В индийской математике метод деления, аналогичный китайскому, впервые упомянут у Сридхари[англ.] (около 800 года). Детальное описание метода даёт Ариабхата II[англ.] (X век)[6].
Индийский метод выполнялся на песке или мелом на доске. Китайский метод использовал палочки в качестве цифр. В обоих случаях цифры легко было стирать. В этих методах делитель записывался под делимым. Как и в современном методе деления столбиком, из делимого вычитались частичные произведения (то есть произведения делителя на каждую цифру ответа, сдвинутые на соответствующее число разрядов). Однако, в отличие от современного метода, старое делимое стиралось, а разность записывалась на его место, при этом само частичное произведение не записывалось, и даже не вычислялось, а вычитание происходило поразрядно слева направо. После этого делитель смещался на один разряд вправо (эту операцию в средневековой Европе называли по-латыни anterioratio)[6][4]. В китайском (а возможно и в индийском методе) частное записывалось над делителем[4].
Этот метод стал известен арабам, начиная с трудов Аль-Хорезми (825 года)[6][4]. Оттуда этот метод попал в Европу[6]. В Европе деление выполнялось чернилами на бумаге, из-за этого метод деления претерпел естественную модификацию в связи с тем, что цифры не стирались, а зачёркивались[3][6][4]. При вычитании из делителя частичных произведений результат записывался сверху. Стало непрактично записывать частное над делимым, его стали писать справа[4]. Эта модификация стала называться методом галеры (galea, batello)[6], у англичан этот метод назывался также методом зачёркивания[7] (англ. scratch method)[6].
Знаменитый итальянский математик Никколо Тарталья (XVI век) в своем известном учебнике арифметики писал о методе следующее[5]:
Второй способ деления называется в Венеции лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями — выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами.
Интересно отметить, что метод галеры с использованием чернил был привезён обратно в Китай из Европы и опубликован в трактате об Европейской арифметике[кит.] 1613 года[4].
Более современный метод («итальянский метод»[3], «золотое деление»[7]), когда результат вычитание записывается снизу, появился в печати в 1491 году в «Арифметике»[8] Каландри[итал.], хотя ещё раньше встречался в рукописях XV века[3]. В этом методе, в отличие от метода галеры, частичное произведение явно записывалось и вычитание частичного произведения производилось начиная с младших разрядов. Это было более удобно, чем начиная со старших разрядов, как в методе галеры[3]. Однако недостатком этого метода галеры было то, что в нём нужно было умножать многозначные числа на однозначные[7].
Впоследствии появился сокращённый метод деления[англ.] («австрийский метод»), который отличался от итальянского тем, что в нём не записывались частичные произведения[3].
Все эти методы конкурировали в Европе с «железным делением» (то есть делением с помощью абака)[7].
В России метод галеры употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Леонтия Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов деления и особо рекомендуется автором; на протяжении изложения материала своей книги Магницкий пользуется в основном методом галеры, не упоминая при этом самого наименования[5].
Сущность метода
Метод галеры, хотя и более сложный в записи, похож на современный метод деления столбиком. Также как и при делении столбиком частное вычисляется по цифрам, начиная со старшего разряда: на каждом шаге подбирается одна цифра частного. В качестве цифры частного берётся наибольшая цифра такая, чтобы из делимого можно вычесть частичное произведение (произведение этой цифры на делитель, смещенный на соответствующее число разрядов), оставаясь в положительных числах. После этого из делимого вычитается частичное произведение, сам делитель сдвигается на один разряд влево, и процесс повторяется. В отличии от современного деления столбиком в методе галеры частичное произведение не вычисляется, а вычитание происходит по разрядам слева направо. Кроме того в методе галеры результат вычитания записывается сверху, а не снизу.
Пример
Рассмотрим пример из «Арифметики Тревизо[англ.]» (1478 года), в котором делится 65284 на 594[4]. Пример разбит на несколько шагов: на каждом шаге полужирным шрифтом выделены цифры, которые добавляются на этом шаге, а курсивом цифры, которые зачёркиваются. Для просты восприятия цифры с которыми производятся действия, выделены цветом, в действительности в методе использовались чернила только одного цвета.
Вначале делитель (594) записывался под делимым (65284):
65284 594 |
Шаг 1: в 652 делитель 594 входит только 1 раз. Значит первая цифра частного 1. Записываем её справа, и вычитаем из делимого 1×594 (смещённое на два разряда). В метода галеры это делается слева направо: сначала вычитается первая цифра (5), потом вторая цифра (9), в конце последняя цифра (4) из соответствующих разрядов.
65284 | 1 594 Шаг 1: 594 входит |
1 Шаг 1a: 6−5=1 |
Шаг 1б: 15−9=6 |
5 Шаг 1в: 62−4=58 |
Шаг 2: Смещаем делитель на один разряд вправо (anterioratio). Так как полученный смещенный делитель (594) больше того, что осталось от делимого (588…), то мы не можем вычесть делитель ни разу, значит вторая цифра частного 0:
5 Шаг 2: 594 входит |
Шаг 3: Смещаем делитель ещё на один разряд вправо. Теперь нам надо из 5884 вычесть 594. Это можно сделать 9 раз. Записываем 9 в частное и вычитаем из делимого 9×594. При этом мы не вычисляем 9×594, а просто вычитаем 9×5, 9×9 и 9×4 из соответствующих разрядов.
5 Шаг 3: 594 входит |
1 Шаг 3а: 58−9×5=13 |
Шаг 3б: 138−9×9=57 |
Шаг 3в: 74−9×4=38 |
Ответ: деление 65284 на 594 даёт частное 109 и 538 в остатке.
Полный результат вычислений |
Сравнение с другими методами
Для сравнения приведём то же самое деление, выполненное со стиранием цифр, а также итальянским и австрийским[англ.] методами[3], в которых многие вычисления производятся в уме и не записываются.
|
|
65284 | 594 594 | 109 5884 5346 538 |
65284 | 594 5884 | 109 538 |
|
Метод со стиранием цифр |
Итальянский метод |
Австрийский метод |
Варианты
Без зачёркивания цифр
Иногда цифры не зачёркивались. В этом случае считались только самые верхние и нижние цифры. При этом вместо зачёркивания записывались нули сверху колонки. См. иллюстрацию в начале статьи.
С вычислением частичных произведений
Иногда частичные произведения вычислялись. Такой вариант практически не отличается от современного деления столбиком. Единственное отличие состоит в месте написания цифр: метод галеры использует меньше бумаги, так цифры записываются более компактно, без пустого места между ними. Но при делении столбиком вычисления лучше видны и их легче проверять.
В качестве примера этого варианта рассмотрим деление 44977 на 382[2]. Один рисунок соответствует получению одного десятичного разряда частного.
1) 67 (Умножение: 1x382=382) 382 | 44977 | 1 (Разность: 449−382=67) 382
2) 29 (Умножение: 1x382=382) 675 (Разность: 677−382=295) 382 | 44977 | 11 3822 38
3) 2 (Умножение: 7x382=2674) 298 (Разность: 2957−2674=283) 6753 382 | 44977 | 117 Ответ: Частное 117, остаток 283. 38224 387 26
Примечания
- ↑ Никколо Тарталья. La prima parte del general trattato di numeri, et misure di Nicolo Tartaglia, nella quale in diecisette libri si dichiara tutti gli atti operativi, pratiche, et regole necessarie non solamente in tutta l'arte negotiaria, & mercantile, ma anchor in ogni altra arte, scientia, over disciplina, dove intervenghi il calculo: 1. — Curtio Trojano de i Navo, 1556. — С. 35f. — 580 с.
- ↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2011-01-25. — 680 с.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Pure Mathematics // The science-history of the universe / Francis Rolt-Wheeler (managing editor). — New York: Current Literature Pub. Co.. — Vol. VIII. — 354 с. — P. 48—52.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. On the Chinese Origin of the Galley Method of Arithmetical Division (англ.) // The British Journal for the History of Science. — 1966/06. — Vol. 3, iss. 1. — P. 66–69. — doi:10.1017/S0007087400000200.
- ↑ 1 2 3 Перельман Я.И. Занимательная арифметика. — Изд. 2-е. — М., 1954.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta[англ.], A. N. Singh. Part I: Numerical Notation and Arithmetic // History of Hindu Mathematics: A Source Book[англ.]. — 1962. — С. 150.
- ↑ 1 2 3 4 Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 1998. — С. 132—134. — ISBN 5-89501-018-0.
- ↑ Filippo Calandri. Aritmetica : [итал.] / Lorenzo Morgiani e Johann Petri. — 1491.
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|