Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

• Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
• Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

• Ротор и дивергенция — для векторных полей.
• Градиент — для скалярных полей.
• Лапласиан — для скалярных и векторных полей.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Градиент	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр $\longrightarrow$ вектор
Дивергенция	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор $\longrightarrow$ скаляр
Ротор	$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор $\longrightarrow$ вектор
Лапласиан	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр $\longrightarrow$ скаляр
Лапласиан векторный	${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} }$		Вектор $\longrightarrow$ вектор

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Дифференциальные операции второго порядка

	Скалярное поле $f=f(x,y,z)$	Векторное поле $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$
	$\operatorname {grad}$	$\operatorname {div}$	$\operatorname {rot}$
$\operatorname {grad}$		$\operatorname {grad} \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
$\operatorname {div}$	$\operatorname {div} \operatorname {grad} (f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\Delta f$		$\operatorname {div} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
$\operatorname {rot}$	$\operatorname {rot} \operatorname {grad} (f)=\nabla \times (\nabla f)=0$		$\operatorname {rot} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\nabla \cdot \nabla )\cdot \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\Delta \mathbf {A}$

Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона $\Delta$ встречается два раза).

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема	Запись	Пояснения
Теорема о градиенте	$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .$	Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина	$\oint \limits _{C}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса	$\int \limits _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$	Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса	$\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$	Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор $\nabla$ («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

• Вектор-функция
• Векторное исчисление
• Градиент
• Дивергенция
• Дифференциальная геометрия
• Оператор набла
• Поверхность
• Ротор
• Формулы векторного анализа
• Гельмгольциан
• Оператор Даламбера

Литература

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine
• Статья по векторному анализу на Astronet Архивная копия от 16 мая 2005 на Wayback Machine