Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Формулы

Пусть заданы некоторые попарно различные точки $x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}$, называемые также узлами интерполяции, и известны значения $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})$ некоторой функции $f$ в этих точках.

Случай неравноотстоящих узлов

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле

$P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x-x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_{0};\ldots ;x_{n}),$

где $f(x_{0};\ldots ;x_{n})$ — разделённая разность порядка $n$.

Случай равноотстоящих узлов

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии $h$, то есть $x_{i}=x_{0}+ih$, $i=0,\ldots ,n$, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с $x_{0}$ (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с $x_{n}$ («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид

$P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},$

где $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$, а выражения вида $\Delta ^{k}y_{0}$ — конечные разности.

Во втором случае формула принимает вид

$P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},$

где $q=(x-x_{n})/h$.

При $h=1$ справедлива формула

$P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x-x_{0}}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)$

где $C_{x}^{m}$ — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Остаточный член

См. также: Интерполяционный многочлен Лагранжа § Остаточный член

Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадают. Однако остаточный член $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$ формулы Ньютона можно записать в другой форме:

• для случая неравноотстоящих узлов:

$R_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})f(x_{0};\ldots ;x_{n}).$

Если функция $f$ имеет производную порядка $n+1$, то $f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}},$ где $\xi$ — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.

• для случая равноотстоящих узлов:

для интерполирования вперёд:

$R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q-1)(q-2)\ldots (q-n).$

для интерполирования назад:

$R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q+1)(q+2)\ldots (q+n).$

См. также

• Интерполяционная формула
• Интерполяционный многочлен
• Эрмитова интерполяция

Литература

• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I.