Лемма Морса

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r+2}$, где $r\geq 1$, имеющая точку $0\in \mathbb {R} ^{n}$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ обращается в нуль, а гессиан ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности $U$ точки $0$ существует такая система $C^{r}$-гладких локальных координат (карта) $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ с началом в точке $0$, что для всех $x\in U$ имеет место равенство

$f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$.

При этом число $k$, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка $f$ в точке $0$, называется индексом критической точки $0$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки $0$ конечной кратности $\mu$ существует система координат, в которой гладкая функция $f(x)$ имеет вид многочлена $P_{\mu +1}(x)$ степени $\mu +1$ (в качестве $P_{\mu +1}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции $f(x)$ в точке $0$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность $\mu =1$, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.

Лемма Морса с параметрами

Пусть $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ — гладкая функция, имеющая начало координат $0$ своей критической точкой, невырожденной по переменным $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Тогда в окрестности точки $0$ существуют гладкие координаты, в которых

$f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,$

где $f_{0}$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от $n+m$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом.

О доказательствах

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2009. — 672 с. — ISBN 978-5-94057-456-9.

• Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.

• Зорич В. А. Математический анализ.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Хирш М. Дифференциальная топология / Пер. с англ. Д.Б. Фукса.. — М.: Мир, 1979. — 279 с.

• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.

• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.