Натуральный логарифм 2
Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно
как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения
Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен
Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:
- (A020862).
Число | Приближённое значение натурального логарифма | OEIS |
---|---|---|
2 | 0,693147180559945309417232121458 | последовательность A002162 в OEIS |
3 | 1,09861228866810969139524523692 | последовательность A002391 в OEIS |
4 | 1,38629436111989061883446424292 | последовательность A016627 в OEIS |
5 | 1,60943791243410037460075933323 | последовательность A016628 в OEIS |
6 | 1,79175946922805500081247735838 | последовательность A016629 в OEIS |
7 | 1,94591014905531330510535274344 | последовательность A016630 в OEIS |
8 | 2,07944154167983592825169636437 | последовательность A016631 в OEIS |
9 | 2,19722457733621938279049047384 | последовательность A016632 в OEIS |
10 | 2,30258509299404568401799145468 | последовательность A002392 в OEIS |
По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.
Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.
Представление в виде рядов
(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).
Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:
Представление в виде интегралов
Другие формы представления числа
Разложение Пирса имеет вид (A091846)
Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785
Представление в виде бесконечной суммы дробей[1] (знакопеременный гармонический ряд):
Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:
Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:[2]
Вычисление других логарифмов
Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:
В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.
Простое число | Приблизительное значение натурального логарифма | OEIS |
---|---|---|
11 | 2,39789527279837054406194357797 | последовательность A016634 в OEIS |
13 | 2,56494935746153673605348744157 | последовательность A016636 в OEIS |
17 | 2,83321334405621608024953461787 | последовательность A016640 в OEIS |
19 | 2,94443897916644046000902743189 | последовательность A016642 в OEIS |
23 | 3,13549421592914969080675283181 | последовательность A016646 в OEIS |
29 | 3,36729582998647402718327203236 | последовательность A016652 в OEIS |
31 | 3,43398720448514624592916432454 | последовательность A016654 в OEIS |
37 | 3,61091791264422444436809567103 | последовательность A016660 в OEIS |
41 | 3,71357206670430780386676337304 | последовательность A016664 в OEIS |
43 | 3,76120011569356242347284251335 | последовательность A016666 в OEIS |
47 | 3,85014760171005858682095066977 | последовательность A016670 в OEIS |
53 | 3,97029191355212183414446913903 | последовательность A016676 в OEIS |
59 | 4,07753744390571945061605037372 | последовательность A016682 в OEIS |
61 | 4,11087386417331124875138910343 | последовательность A016684 в OEIS |
67 | 4,20469261939096605967007199636 | последовательность A016690 в OEIS |
71 | 4,26267987704131542132945453251 | последовательность A016694 в OEIS |
73 | 4,29045944114839112909210885744 | последовательность A016696 в OEIS |
79 | 4,36944785246702149417294554148 | последовательность A016702 в OEIS |
83 | 4,41884060779659792347547222329 | последовательность A016706 в OEIS |
89 | 4,48863636973213983831781554067 | последовательность A016712 в OEIS |
97 | 4,57471097850338282211672162170 | последовательность A016720 в OEIS |
На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln n√c = 1/n ln c.
Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2i, близкой к степени bj другого числа b сравнительно несложно.
Известные значения
Это таблица последних записей по вычислению цифр . По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме[3][4] натурального числа, кроме 1.
Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
---|---|---|
7 января 2009 г. | 15 500 000 000 | A.Yee & R.Chan |
4 февраля 2009 г. | 31 026 000 000 | A.Yee & R.Chan |
21 февраля 2011 г. | 50 000 000 050 | Alexander Yee |
14 мая 2011 г. | 100 000 000 000 | Shigeru Kondo |
28 февраля 2014 г. | 200 000 000 050 | Shigeru Kondo |
12 июля 2015 г. | 250 000 000 000 | Ron Watkins |
30 января 2016 г. | 350 000 000 000 | Ron Watkins |
18 апреля 2016 г. | 500 000 000 000 | Ron Watkins |
10 декабря 2018 г. | 600 000 000 000 | Michael Kwok |
26 апреля 2019 г., | 1 000 000 000 000 | Jacob Riffee |
19 августа 2020 г. | 1 200 000 000 100 | Seungmin Kim[5][6] |
Примечания
- ↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — Penguin, 1997. — P. 29. — ISBN 0140261494.
- ↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case (англ.) // Exper. Math.[англ.] : journal. — 2004. — Vol. 13. — P. 278—280. — doi:10.1080/10586458.2004.10504540. Архивировано 14 октября 2022 года.
- ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program . www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 16 апреля 2015 года.
- ↑ Natural Log of 2 . www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
- ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program . web.archive.org (15 сентября 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 16 апреля 2015 года.
- ↑ Natural Logarithm of 2 (Log(2)) (англ.). Polymath Collector (19 августа 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.
Литература
- Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — doi:10.1145/321941.321944.
- Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26. — P. 205—212. — doi:10.1073/pnas.26.3.205.
- Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 170—178. — doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X.
- Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6. — P. 03.3.7. Архивировано 6 июня 2011 года.
- Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7. — P. 237—246.
- Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 72, no. 242. — P. 901—911. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal The logarithm constant:log 2 .