Теорема Линдемана — Вейерштрасса
Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее[1]:
Если — различные алгебраические числа, линейно независимые над , то являются алгебраически независимыми над , то есть, степень трансцендентности расширения равна |
Часто используется другая эквивалентная формулировка[2]:
Для любых различных алгебраических чисел числа являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел . |
История
В 1882 году Линдеман доказал, что трансцендентно для любого ненулевого алгебраического [3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.
Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.
Доказательство трансцендентности π
Применим метод доказательства от противного. Предположим, число является алгебраическим. Тогда число , где — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу , что вызывает противоречие. Следовательно, число трансцендентно.
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
- ↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.
Литература
- Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
- Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4