Версия для печати больше не поддерживается и может содержать ошибки обработки. Обновите закладки браузера и используйте вместо этого функцию печати браузера по умолчанию.
У этого термина существуют и другие значения, см.
Теорема Пика .
Теорема Пика , или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца .
Формулировка
Пусть
w
=
f
(
z
)
{\displaystyle w=f(z)}
— регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг
Q
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
;
f
:
Q
→
Q
.
{\displaystyle Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.}
Тогда для любых точек
z
1
{\displaystyle z_{1}}
и
z
2
{\displaystyle z_{2}}
круга
Q
{\displaystyle Q}
расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:
d
(
w
1
,
w
2
)
≤
d
(
z
1
,
z
2
)
,
w
1
=
f
(
z
1
)
,
w
2
=
f
(
z
2
)
{\displaystyle d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})}
.
Более того, равенство достигается только в том случае, когда
w
=
f
(
z
)
{\displaystyle w=f(z)}
есть дробно-линейная функция , отображающая круг
Q
{\displaystyle Q}
на себя.
Замечания
Поскольку
t
h
[
1
2
⋅
d
(
z
,
w
)
]
=
|
z
−
w
|
|
1
−
z
¯
⋅
w
|
,
{\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},}
условие
d
(
w
1
,
w
2
)
⩽
d
(
z
1
,
z
2
)
{\displaystyle d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})}
эквивалентно следующему неравенству:
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
1
−
f
(
z
1
)
¯
f
(
z
2
)
|
⩽
|
z
1
−
z
2
|
|
1
−
z
1
¯
z
2
|
.
{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.}
Если
z
1
{\displaystyle z_{1}}
и
z
2
{\displaystyle z_{2}}
бесконечно близки, оно превращается в
|
f
′
(
z
)
|
1
−
|
f
(
z
)
|
2
⩽
1
1
−
|
z
|
2
.
{\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}
Литература
Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного . — 2 изд. — М., 1966.