Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм не становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 
  Равнобедренная трапеция
• 
  Прямоугольная трапеция

Свойства

Основной источник:

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ }$ (по свойству секущей при параллельных прямых).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отношение боковых сторон равно отношению синусов противолежащих им углов:

${\frac {c}{d}}={\frac {\sin D}{\sin C}}$.

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащих к основаниям, подобны. Два других, прилежащих к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
• Если отношение оснований равно $K$, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно $K^{2}$.
• Высота трапеции определяется формулой:

$h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}$

где $b$ — большее основание, $a$ — меньшее основание, $c$ и $d$ — боковые стороны.

В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до

$h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left(b-a\right)^{2}}}$,

так как $c^{2}-d^{2}=0$.

• Диагонали трапеции $d_{1}$ и $d_{2}$ связаны со сторонами соотношением:

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}$.

Их можно выразить в явном виде:

$d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}$;

$d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}$.

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

$a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}$;

$b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}$;

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

$c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}$;

$d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}$.

Если же известна высота $h$, то

$d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}$;

$d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}$.

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
• Длина отрезка $s$, соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле

$s={\frac {\sqrt {2(c^{2}+d^{2})-(a-b)^{2}}}{2}}$.

• Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые диагонали данной трапеции отсекают от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.

Неравенства для отрезков в трапеции

• Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше модуля разности оснований трапеции, т. е. если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция (${\mathcal {AD\parallel BC}}$), то выполняется неравенство: ${\mathcal {AB+CD>|AD-BC|}}$.
• Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция (${\mathcal {AD\parallel BC}}$), то выполняется неравенство: ${\mathcal {AC+BD>AD+BC}}$.
• Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований трапеции, т. е. если ${\mathcal {ABCD}}$ — трапеция (${\mathcal {AD\parallel BC}}$), то выполняется неравенство: ${\mathcal {|AB-CD|<|AD-BC|}}$.

Равнобедренная трапеция

Основная статья: Равнобедренная трапеция

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции). Эквивалентно: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, взаимно перпендикулярны;
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывают с одним и тем же основанием равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание видно под одним и тем же углом^{[прояснить]};
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если ${\mathcal {ABCD}}$ — равнобочная трапеция (${\mathcal {AD\parallel BC}}$, ${\mathcal {AB=CD}}$), причём ${\mathcal {AC}}$ — диагональ трапеции, то ${\mathcal {{AC}^{2}=AD\cdot BC+{AB}^{2}}}$.

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

$R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}$.

• Если $a+b=c+d$, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

$r={\dfrac {h}{2}}={\dfrac {\sqrt {ab}}{2}}={\dfrac {\sqrt {d^{2}-l^{2}}}{2}}$.

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $v$ и $w$ — то $r={\sqrt {vw}}$.
• Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
• Боковые стороны $c\leqslant d$ описанной трапеции выражаются через основания $a$ и $b$ этой трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности как

$c={\dfrac {a+b}{2}}-{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}$,

$d={\dfrac {a+b}{2}}+{\dfrac {|a-b|}{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {4r^{2}}{ab}}}}$.

• Радиус $r$ вписанной в трапецию окружности выражается через длины $a$ и $b$ её оснований и угол $\theta$ между диагоналями описанной трапеции формулой

$r={\frac {2ab(a+b)}{(a-b)^{2}}}\mathrm {ctg} \,\theta$.

• Угол $\theta$ между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение

$\operatorname {cos} \theta ={\frac {(a-b)^{2}}{a^{2}+6ab+b^{2}}}$.

• Радиус $r$ вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству

$r\leqslant {\frac {\sqrt {ab}}{2}}$,

где $a$ и $b$ — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.

• Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство

$a<c\leqslant d<b$.

• Длина $l$ отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ и радиусом вписанной окружности $r$ может быть вычислена по формуле

$l={\frac {2abr}{\sqrt {(ab)^{2}+((a-b)r)^{2}}}}$.

• Связь противоположных углов $A$ и $C$ описанной трапеции с длинами оснований $a$ и $b$ (см. рис. выше):

${\frac {b}{a}}={\frac {\mathrm {ctg} \,{\frac {A}{2}}}{\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{2}}}}$.

• Площадь $S$ описанной трапеции выражается через внутренние углы $\alpha$ и $\beta$ при одном из оснований описанной трапеции и радиус $r$ вписанной в неё окружности формулой

$S=2r^{2}{\Bigl (}{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \alpha }}+{\frac {1}{\mathop {\operatorname {\sin } } \beta }}{\Bigr )}$.

• Угол $\theta$ между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству

$\mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}\leqslant \theta <{\frac {\pi }{2}}$,

где $k$ — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство $\theta =\mathrm {arccos} \,{\frac {(k-1)^{2}}{k^{2}+6k+1}}$ здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.

• Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
• Угол $\theta$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями $a$ и $b$ можно найти, используя соотношение

$\mathrm {\tan } \,\theta =2{\Bigl (}{\frac {a+b}{a-b}}{\Bigr )}^{2}$.

• Угол $\theta$ между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала ${\Bigl (}\mathrm {\arctan } \,2;{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}$.

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если $a$ и $b$ — основания и $h$ — высота, формула площади:

$S={\dfrac {(a+b)}{2}}h$

• В случае, если $m$ — средняя линия и $h$ — высота, формула площади:

$S=\displaystyle mh$

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

$m={\dfrac {(a+b)}{2}}$

• В случае, если известна средняя линия $m$, боковая сторона $c$ и угол при этой стороне $\alpha$, то формула площади выглядит следующим образом:

$S=mc\sin \alpha$

Примечание: приведённая выше формула получается путём применения теоремы синусов на любом из двух треугольников, образовываемых высотами трапеции. Использование любого из двух углов, прилежащих к боковой стороне обусловлено тем, что $\sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )$.

• Формула, где $a<b$ — основания, $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции:

$S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.$

или

$S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}$

• Средняя линия $m$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как

${\dfrac {S_{1}}{S_{2}}}={\dfrac {3a+b}{a+3b}}$

• По свойству треугольников ${\triangle AHD}$ и ${\triangle BHC}$ в трапеции $ABCD$:

$S={\left({\sqrt {S_{\bigtriangleup AHD}}}+{\sqrt {S_{\bigtriangleup BHC}}}\right)}^{2}.$

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным $r$, и любым из углов трапеции $\alpha$:

$S={\dfrac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}$

• Площадь равнобедренной трапеции через диагональ $d$, боковую сторону $l$ и угол при основании $\alpha$:

$S=l{\sqrt {d^{2}-(l\sin \alpha )^{2}}}\sin \alpha$.

• Площадь равнобедренной трапеции:

$S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }$,

где $c$ — боковая сторона, $b$ — бо́льшее основание, $a$ — меньшее основание, $\gamma$ — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:

$S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

$S=h^{2}.$

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. $m=h$.

История

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).