Уравнение Колмогорова — Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов $\mathbf {P} (t),\;t>0$ в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

$\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).$

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени $t$ ($\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$, преобразующих распределение вероятностей в момент времени $t>0$ в распределение вероятности в момент времени $h>t>0.$ Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

$\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.$

Для систем с дискретным временем параметры $t,h,s$ принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по $s$ при $s=0$ получаем прямое уравнение Колмогорова:

${\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {P} (t)\mathbf {Q} ,$

где

$\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h}}.$

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по $t$ при $t=0$ получаем обратное уравнение Колмогорова

${\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {Q} \mathbf {P} (t).$

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор $\mathbf {Q}$ уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в $\mathbb {R} ^{n},$ для которых оператор переходных вероятностей $\mathbf {P} (t)$ задаётся переходной плотностью $p(t,x,y)$: вероятность перехода из области $U$ в область $W$ за время $t$ есть $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

$p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.$

При $t>0,\,t\to 0$ переходная плотность $p(t,x,y)$ стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):$\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (x-y)$. Это означает, что $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$ Пусть существует предел (также обобщённая функция)

$q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (x-y)}{h}}.$

Тогда оператор $\mathbf {Q}$ действует на функции $f(x)$, определённые на $\mathbb {R} ^{n},$ как $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$ и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)q(z,y)\,dz,$

а обратное уравнение Колмогорова

${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,z)p(t,z,y)\,dz.$

Пусть оператор $\mathbf {Q}$ — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

$(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}.$

(это означает, что $q(x,y)$ есть линейная комбинация первых и вторых производных $\delta (x-y)$ с непрерывными коэффициентами). Матрица $a^{ij}$ симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).$

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор $b^{j}$ в физической литературе называется вектором сноса, а матрица $a^{ij}$ — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}p(t,x,y).$

См. также

• Цепь Маркова
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.