4-градие́нт (четыре-градиент , четырёхградиент , 4-на́бла ; обозначается D
∇
μ
{\displaystyle \nabla _{\mu }}
∂
μ
{\displaystyle \partial _{\mu }}
специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского , определяемый как[ 1]
∂
μ
=
∇
μ
=
(
∂
c
∂
t
,
∇
→
)
=
(
∂
c
∂
t
,
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
,
{\displaystyle \partial _{\mu }=\nabla _{\mu }=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;{\frac {\partial }{\partial x}},\;{\frac {\partial }{\partial y}},\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;\right),}
где
∇
→
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle {\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},\;{\frac {\partial }{\partial y}},\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;\right)}
градиента . Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты
∂
μ
=
∇
μ
=
g
μ
ν
∇
ν
=
(
∂
c
∂
t
,
−
∇
→
)
,
{\displaystyle \partial ^{\mu }=\nabla ^{\mu }=g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t}},\;-{\vec {\nabla }}\right),}
[ 1]
g
μ
ν
=
d
i
a
g
(
1
,
−
1
,
−
1
,
−
1
)
{\displaystyle g^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}
метрический тензор ; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение D псевдо евклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера :
◻
=
D
⋅
D
=
g
μ
ν
∇
μ
∇
ν
=
∂
ν
∂
ν
=
∂
2
c
2
∂
t
2
−
Δ
=
∂
2
c
2
∂
t
2
−
∂
2
∂
x
2
−
∂
2
∂
y
2
−
∂
2
∂
z
2
,
{\displaystyle \square =D\cdot D=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }=\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\;,}
где Δ — оператор Лапласа .
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а
∂
μ
a
=
a
,
μ
.
{\displaystyle \partial _{\mu }a=a_{\;,\mu }\;.}
Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию :
D
⋅
A
=
∂
μ
A
μ
=
A
,
μ
μ
=
∂
A
t
c
∂
t
+
∂
A
x
∂
x
+
∂
A
y
∂
y
+
∂
A
z
∂
z
=
∂
A
t
c
∂
t
+
∇
A
,
{\displaystyle D\cdot A=\partial _{\mu }A^{\mu }=A_{\;,\mu }^{\mu }={\frac {\partial A_{t}}{c\;\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}={\frac {\partial A_{t}}{c\;\partial t}}+\nabla \mathbf {A} ,}
где
A
μ
=
{
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
}
=
{
A
t
,
A
}
{\displaystyle A^{\mu }=\{A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\}=\{A_{t},\mathbf {A} \}}
4-вектора , а
∇
A
{\displaystyle \nabla \mathbf {A} }
дивергенция .
Символ
D
μ
{\displaystyle D_{\mu }}
∇
μ
{\displaystyle \nabla _{\mu }}
ковариантная производная в криволинейных координатах :
D
μ
A
ν
=
∂
μ
A
ν
+
Γ
α
μ
ν
A
α
,
{\displaystyle D_{\mu }A^{\nu }=\partial _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }A^{\alpha },}
где
Γ
α
μ
ν
{\displaystyle \Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }}
символы Кристоффеля . В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
D
μ
a
=
∂
μ
a
.
{\displaystyle D_{\mu }a=\partial _{\mu }a.}
S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003.
L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X .
