Тождество Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию $[\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V$ на линейном пространстве $V$. Имеет следующий вид:

$\forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение $[\cdot ,\cdot ]$ антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

$\mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]$

Записав тождество Якоби в форме

$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора $\mathrm {ad} _{x}$:

$\mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]$

Таким образом, $\mathrm {ad} _{x}$ — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

$\mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}$

Это означает, что оператор $\mathrm {ad}$ задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть $\Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}$ — градуированная алгебра, $[\cdot ,\cdot ]$ — умножение в ней. Говорят, что умножение в $\Omega$ удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов $\omega _{i}\in \Omega ^{i}$

$[\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]$

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;