Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве $\mathbb {L}$ над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая дополнительному условию:

• $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ где $\forall$ — квантор всеобщности.

Другими словами, это означает, что функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) линейность скалярного произведения по первому аргументу:

$\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}$ и $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ справедливы равенства:

$\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1},\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;$

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$ они равносильны)

• 2) эрмитовость скалярного произведения:

$\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}$ справедливо равенство $\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}} ;$

• 3) положительная определённость скалярного произведения:

$(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )$ $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }$ и $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,$ причём $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0$ только при $\mathbf {x=0} .$

Свойства

• Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R}$.
• Полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является эрмитовой тогда и только тогда, когда для всех векторов $x\in \mathbb {L}$ функция $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$ принимает только вещественные значения.

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:

1. $(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
2. неравенство Коши — Буняковского: $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
3. понятие угла не имеет содержательного смысла;
4. Матрица Грама $\Gamma (f)=f^{T}f$ системы векторов $f$ является эрмитовой $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.