Критерий Попова

Критерий По́пова — математическое понятие, условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка критерия

Рассматривается следующая система управления:

${\dot {x}}=Ax+Bu,$

$y=Cx,$

$u=-\psi (y),$

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $u,y\in \mathbb {R}$, $A,B,C$ — матрицы подходящих размерностей, $\psi$ — нелинейная функция со значениями в $\mathbb {R}$. Предполагается, что

• матрица $A$ — гурвицева,
• пара $(A,B)$ управляема,
• пара $(A,C)$ наблюдаема,
• функция $\psi$ лежит в секторе $[0,k]$ для некоторого положительного числа $k$, то есть

$\psi (y)[\psi (y)-ky]\leqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .$

Тогда если найдётся такое неотрицательное число $\eta$, что число $-1/\eta$ не является собственным числом $A$ и

${\mbox{Re}}\left(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} ,$

где $G(s)=C(sE-A)^{-1}B$ — передаточная функция системы, то система абсолютно устойчива, то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\psi$, удовлетворяющей секторному условию.

С использованием формулы $G(i\omega )={\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)+i{\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$ можно привести указанное неравенство к следующему виду:

${\dfrac {1}{k}}+{\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)-\eta \omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .$

Если построить график левой части неравенства как функции от $\omega$, используя в качестве оси абсцисс ${\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)$, а в качестве оси ординат $\omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$, то неравенство будет выполняться, если график будет лежать справа от прямой, проходящей через точку $(-1/k,0)$ с угловым коэффициентом $1/\eta$. Такой способ изображения называется годографом Попова (сравни с годографом Найквиста).

Литература

• Khalil, H. K.. Nonlinear systems (англ.). — 2nd ed. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. — ISBN 0-13-228024-8.

См. также

• Круговой критерий