Ортонормированная система

Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.

Определение

Для любых элементов этой системы $\varphi _{i},\varphi _{j}$ скалярное произведение $(\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{ij}$, где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.$

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента ${\vec {a}}$ может быть вычислено по формулам: ${\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{i}\varphi _{i}$, где $\alpha _{i}=({\vec {a}},\varphi _{i})$.

Примеры

• В конечномерном пространстве $R^{n}$ ортонормированной системой будет набор векторов:

$e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,0,1)$.

• В пространстве $L^{2}[0,l]$ ортонормированной системой будет множество функций:

$\varphi _{k}(x)={\sqrt {\frac {2}{l}}}\sin k{\frac {\pi }{l}}x$.

Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве $L^{2}[0,l]$.

• В пространстве $L^{2}[0,1]$ система функций Радемахера является ортонормированной.

Ортогонализация

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

См. также

• Ортонормированный базис
• Ортогональные многочлены