Переменные Мандельштама

Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как $s,t,u$. Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.

Определение

Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_{1},p_{2}$ и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_{3},p_{4}$. Соотношения между энергией и массой имеют вид:

$p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}.$

В пространстве-времени с метрикой $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$ они приобретают вид

$m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},$

или в релятивистских единицах $(c=1)$

$m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.$

Здесь $i=1,2,3,4$ — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением:

$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.$

Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах $(c=1)$:

• $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$
• $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}$
• $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

Свойства

Переменные Мандельштама связаны соотношением:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.$

Вывод

Для вывода используем два соотношения:

• Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс:

$p_{i}^{2}=m_{i}^{2}$

• Сохранение четырёхимпульса:

$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}$

$p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}$

Таким образом:

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}$

$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}$

$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}$

Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}$

Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса:

$2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0$

Таким образом:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}$

Литература

• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.