Плотность заряда

Плотность заряда (линейная, поверхностная, объемная)
${\frac {dq}{dl}},{\frac {dq}{dS}},{\frac {dq}{dV}}$
Размерность	L−1TI, L−2TI, L−3TI
Единицы измерения
СИ	Кл/м, Кл/м2, Кл/м3
Примечания
скалярная величина

Пло́тность заря́да — количество электрического заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма. Таким образом определяются линейная, поверхностная и объёмная плотности заряда, которые в системе СИ измеряются в кулонах на метр (Кл/м), в кулонах на квадратный метр (Кл/м²) и в кулонах на кубический метр (Кл/м³), соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, поскольку существуют заряды обоих знаков.

Плотность заряда в классической физике

Линейная, поверхностная и объёмная плотности электрического заряда обычно задаются функциями $\lambda ({\vec {r}})$, $\sigma ({\vec {r}})$ и $\rho ({\vec {r}})$, соответственно, где ${\vec {r}}$ — радиус-вектор. Зная эти функции, можно определить полный заряд:

$Q=\int \limits _{L}\lambda ({\vec {r}})\operatorname {d} l$,

$Q=\int \limits _{S}\sigma ({\vec {r}})\operatorname {d} S$,

$Q=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})\operatorname {d} V$.

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда, например электрона в атоме, связана с волновой функцией $\psi ({\vec {r}})$ через соотношение

$\rho ({\vec {r}})=q|\psi ({\vec {r}})|^{2}$,

где $q$ — заряд электрона. При этом волновая функция должна иметь нормировку:

$\int |\psi ({\vec {r}})|^{2}\operatorname {d} V=1$.

Определение плотности заряда через δ-функцию

Иногда требуется записать объёмную плотность заряда для системы из точечных зарядов $q_{a}$ ($a=1,2,\ldots$). Это может быть сделано с использованием δ-функции:

$\rho ({\vec {r}})=\sum _{a}q_{a}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{a})$,

где сумма берётся по всем имеющимся зарядам, а ${\vec {r}}_{a}$ — радиус-вектор заряда $q_{a}$. Полный заряд, находящийся во всём пространстве, равен интегралу $\int \rho dV$ по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырёхмерном виде:

$Q=\int \rho dV={\frac {1}{c}}\int j^{0}dV={\frac {1}{c}}\int j^{i}ds_{i}$,

где интегрирование производится по всей четырёхмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x⁰ (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трёхмерному пространству). $j^{i}$ — 4-вектор плотности тока.

Плотность заряда в формулах электродинамики

Объёмная плотность заряда в явном виде фигурирует в одном из уравнений Максвелла: ($\operatorname {div} {\vec {D}}=\rho$). Кроме того, она входит в уравнение непрерывности $\operatorname {div} {\vec {j}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$.

Поверхностная плотность заряда входит в граничные условия для нормальных компонент электрической индукции на стыке двух сред: $D_{2n}-D_{1n}=\sigma$.

Плотность заряда в любом варианте (объёмная, поверхностная, линейная) может использоваться при вычислении напряжённости электрического поля или потенциала путём интегрирования закона Кулона

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {({\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}})\,dQ({\vec {\hat {r}}})}{|{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}|^{3}}},\qquad \varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {dQ({\vec {\hat {r}}})}{|{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}|}}$,

где элемент заряда $dQ$ записывается как $\rho dV$, $\sigma dS$ или $\lambda dl$ в зависимости от конкретной задачи.

См. также

• Плотность тока

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
• САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики: Учеб. руководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинамика.— 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 496 с. ISBN 5-02-014455-X (Т. 1)