Волшебные кольца

Волшебные кольца

Волшебные кольца, Восьмёрка, Венгерские кольца — перестановочная головоломка, состоящая из двух пересекающихся колец, заполненных цветными шариками.

История

Головоломка имела прототипы. Один из них был изобретен в конце XIX века Уильямом Черчиллем. Патент был получен 24 октября 1893 года. Плоскую версию предложил венгерский инженер Эндре Пап.

В Советском Союзе головоломка была известна как Волшебные кольца.

Устройство

Головоломка состоит из двух колец, соединённых в форме восьмерки. Кольца заполнены цветными (всего от 2 до 4 цветов) шариками, которые могут свободно перемещаться в кольцах. Существуют две версии головоломки, различающиеся количеством шариков и цветов.

Версия «Кольца Рубика» содержит 34 шарика 3 цветов. Кольца располагаются под углом друг к другу в трёхмерном пространстве, благодаря чему предотвращаются непроизвольные сдвиги шариков. Пересечения колец делят их на секции; во внутренних секциях между точками пересечения находится по 5 шариков.

Задача состоит в том, чтобы перейти в целевую конфигурацию, в которой 11 синих, 11 красных и 12 жёлтых шариков расположены так, что внутренние секции и пересечения жёлтые, одна из внешних секций красная, а другая — синяя.

Версия «Венгерские кольца» содержит 38 шаров 4 цветов — по 9 шариков жёлтого и синего цветов и по 10 шариков чёрного и красного цветов. Во внутренних секциях между пересечениями колец находится по 4 шарика. Задача состоит в том, чтобы выстроить непрерывные цепочки шариков каждого цвета.

Комбинаторика

Версия «Кольца Рубика» содержит 34 шарика, которые могут быть упорядочены 34! способами. Однако конфигурации, отличающиеся лишь перестановкой шариков одного цвета или переменой мест красного и синего цветов, неразличимы:

• 12! неразличимых перестановок жёлтых шариков
• 11! перестановок красных шариков
• 11! перестановок синих шариков
• перемена мест красного и синего цветов не изменяет решения (2)

Таким образом, число конфигураций в версии «Кольца Рубика» составляет

${\dfrac {34!}{2\cdot 11!\cdot 11!\cdot 12!}}=193\ 413\ 243\ 572\ 640$

Версия «Венгерские кольца» содержит 38 шариков, которые могут быть упорядочены 38! способами. Действительное число неэквивалентных конфигураций меньше, так как:

• жёлтые шарики неразличимы (9!)
• синие шарики неразличимы (9!)
• красные шарики неразличимы (10!)
• чёрные шарики неразличимы (10!)
• перемена мест жёлтого и синего цветов не изменяет решения (2)
• перемена мест красного и чёрного цветов не изменяет решения (2)

Таким образом, число конфигураций в версии «Венгерские кольца» составляет

${\dfrac {38!}{(2\cdot 9!\cdot 10!)^{2}}}=75\ 406\ 424\ 215\ 922\ 599\ 800$,

причём существует 8 возможных решений.

Литература

• Калинин А. Т. Волшебные кольца // Наука и жизнь : журнал. — 1988. — № 1. — С. 99—100.