Натуральный логарифм 2

Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно

$\ln 2\approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326\,996\,418\,687$

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения

$\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.$

Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен

$\log _{10}2\approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026\,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\,927\,252\,118\,186\,172\,040\,684$

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

$\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593\,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015$ (A020862).

Число	Приближённое значение натурального логарифма	OEIS
2	0,693147180559945309417232121458	последовательность A002162 в OEIS
3	1,09861228866810969139524523692	последовательность A002391 в OEIS
4	1,38629436111989061883446424292	последовательность A016627 в OEIS
5	1,60943791243410037460075933323	последовательность A016628 в OEIS
6	1,79175946922805500081247735838	последовательность A016629 в OEIS
7	1,94591014905531330510535274344	последовательность A016630 в OEIS
8	2,07944154167983592825169636437	последовательность A016631 в OEIS
9	2,19722457733621938279049047384	последовательность A016632 в OEIS
10	2,30258509299404568401799145468	последовательность A002392 в OEIS

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.

Представление в виде рядов

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.$ (Ряд Меркатора)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\tfrac {3}{2}}.$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2}{2}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\operatorname {Li} _{1}\left({\frac {1}{2}}\right).$ (Полилогарифм)

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.$

$\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}}\right).$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.$

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

${\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}$

Представление в виде интегралов

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ или, равносильно, }}\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2.$

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1-\ln 2}{4}}.$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {\ln 2}{n}};\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx=\ln 2.$

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.$

$\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.$

$\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx=-{\frac {\pi \ln 2}{4}}.$

$\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{18}}.$

$\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.$

$\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}\,dx=-\ln 2.$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}\,dx=1-2\ln 2.$

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2.$

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3}}}\,dx=-{\frac {\gamma +\ln 2}{2}}.$

Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид (A091846)

$\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .$

Разложение Энгеля (A059180):

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .$

Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785

$\ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\cdots }).$

Представление в виде бесконечной суммы дробей (знакопеременный гармонический ряд):

$\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}-\cdots .$

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56}}+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }$

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:

$\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}$

Вычисление других логарифмов

Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

$c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots$

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

Простое число	Приблизительное значение натурального логарифма	OEIS
11	2,39789527279837054406194357797	последовательность A016634 в OEIS
13	2,56494935746153673605348744157	последовательность A016636 в OEIS
17	2,83321334405621608024953461787	последовательность A016640 в OEIS
19	2,94443897916644046000902743189	последовательность A016642 в OEIS
23	3,13549421592914969080675283181	последовательность A016646 в OEIS
29	3,36729582998647402718327203236	последовательность A016652 в OEIS
31	3,43398720448514624592916432454	последовательность A016654 в OEIS
37	3,61091791264422444436809567103	последовательность A016660 в OEIS
41	3,71357206670430780386676337304	последовательность A016664 в OEIS
43	3,76120011569356242347284251335	последовательность A016666 в OEIS
47	3,85014760171005858682095066977	последовательность A016670 в OEIS
53	3,97029191355212183414446913903	последовательность A016676 в OEIS
59	4,07753744390571945061605037372	последовательность A016682 в OEIS
61	4,11087386417331124875138910343	последовательность A016684 в OEIS
67	4,20469261939096605967007199636	последовательность A016690 в OEIS
71	4,26267987704131542132945453251	последовательность A016694 в OEIS
73	4,29045944114839112909210885744	последовательность A016696 в OEIS
79	4,36944785246702149417294554148	последовательность A016702 в OEIS
83	4,41884060779659792347547222329	последовательность A016706 в OEIS
89	4,48863636973213983831781554067	последовательность A016712 в OEIS
97	4,57471097850338282211672162170	последовательность A016720 в OEIS

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln ⁿ√c = 1/n ln c.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2ⁱ, близкой к степени b^j другого числа b сравнительно несложно.

Известные значения

Это таблица последних записей по вычислению цифр $\ln(2)$. По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме натурального числа, кроме 1.

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
7 января 2009 г.	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4 февраля 2009 г.	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21 февраля 2011 г.	50 000 000 050	Alexander Yee
14 мая 2011 г.	100 000 000 000	Shigeru Kondo
28 февраля 2014 г.	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 июля 2015 г.	250 000 000 000	Ron Watkins
30 января 2016 г.	350 000 000 000	Ron Watkins
18 апреля 2016 г.	500 000 000 000	Ron Watkins
10 декабря 2018 г.	600 000 000 000	Michael Kwok
26 апреля 2019 г.,	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
19 августа 2020 г.	1 200 000 000 100	Seungmin Kim

Литература

• Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — doi:10.1145/321941.321944.
• Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26. — P. 205—212. — doi:10.1073/pnas.26.3.205.
• Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 170—178. — doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X.
• Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6. — P. 03.3.7. Архивировано 6 июня 2011 года.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7. — P. 237—246.
• Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 2003. — Vol. 72, no. 242. — P. 901—911. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal The logarithm constant:log 2  (неопр.).