Пара топологических пространств

Пара топологических пространств — упорядоченная пара $(X,A)$ где $X$ — топологическое пространство, а $A$ — подпространство (с топологией подпространства).

Отображение пар $f\colon (X,A)\to (Y,B)$ определяется как отображение $f\colon X\to Y$ такое, что $f(A)\subset B$.

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий $H_{k}(X,Y)$, для которых как раз требуется, чтобы $Y$ вкладывалось в $X$. Для хороших пространств (например, если $Y$ — клеточный подкомплекс клеточного комплекса $X$) выполнено равенство $H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H}}(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).$

Свойства

• Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство $X$ в пару $(X,\varnothing )$ ,

Относительные гомологии

Основная статья: Относительные гомологии

Если дана пара топологических пространств $(X,Y)$, то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей $C_{k}(X)/C_{k}(Y)$. Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают $H_{k}(X,Y)$ и называют гомологиями пары.

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары: $$\ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X)\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\partial _{\ast }}{\longleftarrow }}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots$$

Вариации и обобщения

Родственным понятием является понятие тройки $(X,A,B)$, где $B\subseteq A\subseteq X$. Тройки используются в теории гомотопий. Часто для пространств с отмеченной точкой $x_{0}$ тройку записывают как $(X,A,B,x_{0})$, где $x_{0}\in B\subseteq A\subseteq X$.

Литература

• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — 1971.
• М.Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. — МИАН, 2006. — (Лекционные курсы НОЦ). — ISBN 5-98419-013-3.