Свёртка (математический анализ)

Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям $f$ и $g$ возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции $f(x)$ и $g(-x)$. Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений $f$ с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям $g$, то есть $(f*g)(x)=f(1)g(x-1)+f(2)g(x-2)+f(3)g(x-3)+\dots$

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение

Пусть $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда их свёрткой называется функция $f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, определённая формулой

$(f*g)(x)\$

${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)\,g(y)\,dy.$

В частности, при $n=1$ формула принимает вид

$(f*g)(x)\$

${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\,g(y)\,dy.$

Свёртка $(f*g)(x)$ определена при почти всех $x\in {\mathbb {R} ^{n}}$ и интегрируема.

В случае, когда $x\in \mathbb {R}$, а функции $f(x),~g(x)$ определены на промежутке $[0,+\infty )$, свёртку можно записать в виде

$(f*g)(x)\$

${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{0}^{x}f(y)\,g(x-y)\,dy=\int \limits _{0}^{x}f(x-y)\,g(y)\,dy.$

Впервые интегралы, являющиеся свёрткой двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже).

Свойства

Коммутативность:

$f*g=g*f$.

Ассоциативность:

$f*(g*h)=(f*g)*h$.

Линейность (дистрибутивность по сложению и ассоциативность с умножением на скаляр):

$(f_{1}+f_{2})*g=f_{1}*g+f_{2}*g$,

$f*(g_{1}+g_{2})=f*g_{1}+f*g_{2}$,

$(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\quad \forall a\in \mathbb {R}$.

Правило дифференцирования:

$\mathrm {D} (f*g)=\mathrm {D} f*g=f*\mathrm {D} g$,

где $\mathrm {D} f$ обозначает производную функции $f$ по любой переменной.

Преобразование Лапласа:

${\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}$.

Свойство фурье-образа:

${\mathfrak {F}}[f*g]={\mathfrak {F}}[f]\cdot {\mathfrak {F}}[g]$,

где ${\mathfrak {F}}[]$ обозначает преобразование Фурье функции.

Если ${\mathcal {W}}$ является матрицей дискретного преобразования Фурье, то:

${\mathcal {W}}(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y$,

где $\bullet$ — символ торцевого произведения матриц, $\otimes$ обозначает произведение Кронекера, $\circ$ — символ произведения Адамара (тождество является следствием свойств отсчётного скетча).

Пример

График функции ${\color {Red}g(x)}$— количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

1. построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
2. каким-то образом соединить эти две модели в одну.

   

   График ${\color {Blue}f(x)}$ зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на первом этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на первом этапе было построено две зависимости (математические модели):

• зависимость количества выпавшего снега от текущего времени ${\color {Red}g(t)}$,
• зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения ${\color {Blue}f(\tau )}$.

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков $G$ можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

$G=\sum _{t=0}^{T}g(t)$,

или путём интегрирования в случае непрерывном:

$G=\int \limits _{0}^{T}g(t)\,dt$.

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал этот конкретный объём снега. Так снег, выпавший две недели назад, может уже испариться, в то время как снег, выпавший полчаса назад, ещё будет лежать и даже не начнёт подтаивать.

Получается, что для снега, выпавшего в разное время, нужно построить свою модель таяния и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической свёртки. Пусть в момент времени $t$ рассматривается снег, который выпал в момент времени $\tau$, тогда

• $\tau$ — время выпадения снега. Например, 13:00;
• ${\color {Red}g(\tau )}$ — количество выпавшего в момент ${\tau }$ снега. Например, 7 кг;
• $t$ — момент времени, для которого нам нужно узнать состояние выпавшего в $\tau$ снега. Например, 15:00;
• $t-\tau$ — количество времени, прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега. То есть 15:00 − 13:00;
• ${\color {Blue}f(t-\tau )}$ — доля снега, которая не растаяла после того, как пролежала $t-\tau$ часов.

Нужно для каждого количества ${\color {Red}g(\tau )}$ снега, выпавшего в момент времени $\tau$, сложить множество моделей $f(t-\tau )$ в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

$w(t)=\sum \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau ),$

или интеграл в непрерывном:

$w(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .$

Графически функция $w(t)$ изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика ${\color {Red}g(x)}$.

График функции $w(t)$, где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (цвета вкладов соответствуют цветам куч выпавшего снега на графике ${\color {Red}g(x)}$ выше)

Функция $w(t)$ полностью моделирует поведение снега, выпавшего согласно модели ${\color {Red}g(x)}$. Так, на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа, оснащённая мерой $m$, и $f,g:G\to \mathbb {R}$ — две функции, определённые на $G$. Тогда их свёрткой называется функция

$(f*g)(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\in G.$

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ и две меры $\mu ,\nu :{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y\in A\}\right),\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$.

Свойства

• Пусть $\mu ,\nu$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu }={\frac {d\mu }{dm}},\quad f_{\nu }={\frac {d\nu }{dm}}.$

Тогда $\mu *\nu$ также абсолютно непрерывна относительно $m$, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu *\nu }={\frac {d\mu *\nu }{dm}}$ имеет вид

$f_{\mu *\nu }=f_{\mu }*f_{\nu }.$

• Если $\mu ,\nu$ — вероятностные меры, то $\mu *\nu$ также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb {P} ^{X},\mathbb {P} ^{Y}$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, то

$\mathbb {P} ^{X+Y}=\mathbb {P} ^{X}*\mathbb {P} ^{Y},$

где $\mathbb {P} ^{X+Y}$ — распределение суммы $X+Y$. В частности, если $X,Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f_{X},f_{Y}$, то случайная величина $X+Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}.$

См. также

• Обратная свертка (деконволюция)
• Взаимнокорреляционная функция
• Автокорреляционная функция
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
• Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М., Наука, 1982. — Тираж 3500 экз. — 240 с.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet
• Линейная и циклическая свертка  (рус.). Дата обращения: 15 ноября 2010.