Полуправильный многогранник
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Архимедовы тела
[править | править код]Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
- Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
- для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,
- все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.
Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками.
Каталановы тела
[править | править код]Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.
То есть полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:
- Все грани являются правильными многоугольниками;
- Все грани одинаковы;
- Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.
Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.
Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и плосконосый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.
Список полуправильных многогранников
[править | править код]| Многогранник — архимедово тело | Грани | Вершины | Рёбра | Конфигурация вершины |
Двойственный — каталаново тело | Группа симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|
 Кубооктаэдр |
8 треугольников 6 квадратов |
12 | 24 | 3,4,3,4 |  Ромбододекаэдр |
Oh |
 Икосододекаэдр |
20 треугольников 12 пятиугольников |
30 | 60 | 3,5,3,5 |  Ромботриаконтаэдр |
Ih |
 Усечённый тетраэдр |
4 треугольника 4 шестиугольника |
12 | 18 | 3,6,6 |  Триакистетраэдр |
Td |
 Усечённый октаэдр |
6 квадратов 8 шестиугольников |
24 | 36 | 4,6,6 |  Тетракисгексаэдр (преломлённый куб) |
Oh |
 Усечённый икосаэдр |
12 пятиугольников 20 шестиугольников |
60 | 90 | 5,6,6 |  Пентакисдодекаэдр |
Ih |
 Усечённый куб |
8 треугольников 6 восьмиугольников |
24 | 36 | 3,8,8 |  Триакисоктаэдр |
Oh |
 Усечённый додекаэдр |
20 треугольников 12 десятиугольников |
60 | 90 | 3,10,10 |  Триакисикосаэдр |
Ih |
 Ромбокубоктаэдр |
8 треугольников 18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом) |
24 | 48 | 3,4,4,4 |  Дельтоидальный икоситетраэдр |
Oh |
 Ромбоикосододекаэдр |
20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников |
60 | 120 | 3,4,5,4 |  Дельтоидальный гексеконтаэдр |
Ih |
 Ромбоусечённый кубооктаэдр |
12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников |
48 | 72 | 4,6,8 |  Гекзакисоктаэдр |
Oh |
 Ромбоусечённый икосододекаэдр |
30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников |
120 | 180 | 4,6,10 |  Гекзакисикосаэдр |
Ih |
  Курносый куб |
32 треугольника 6 квадратов |
24 | 60 | 3,3,3,3,4 |   |
O |
  Курносый додекаэдр |
80 треугольников 12 пятиугольников |
60 | 150 | 3,3,3,3,5 |   |
I |
Прочие
[править | править код]Помимо архимедовых и каталановых тел, существуют бесконечные последовательности многогранников, относимых к полуправильным: те правильные призмы и правильные антипризмы, у которых все рёбра равны.
Использование
[править | править код]Каталановы тела — наряду с платоновыми телами, равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх (см. фотографии). Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Ашкинузе В. Г. О числе полуправильных многогранников // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 107-118.
- Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ. Том 2 -- 1966.
