Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами $U_{ijk\dots }$ , можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

$U_{(ij)k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$ (симметричная часть),

$U_{[ij]k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$ (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что $U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }$

Свойства

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

$A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=A_{(ji)k\dots }B_{[ji]k\dots }=-A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=0.$

Антисимметричный тензор
Определяющая формула	$T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$
Противоположно	симметричный тензор