Если вещественная часть комплексного числа положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл
Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)
через замену переменной , и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что .
Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства и замены переменной :
.
Интеграл в этой формуле сходится при , хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при , и если доопределить её в этой точке значением , она станет непрерывной на всём отрезке . Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.
Здесь контур — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.
Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.
Определение по Гауссу верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел:
Иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением . Именно этой функцией (а не -функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.
Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение:
,
которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (Теорема Бора — Моллерупа)[2].
Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:
.
Также справедлива и формула умножения Гаусса:
.
Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:
.
Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках [1].
Гамма-функция имеет полюс первого порядка в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задаётся так:
.
Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
.
Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где , часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
.
По теореме Бора — Моллерупа гамма-функция является единственной функцией, обладающей в области одновременно тремя свойствами:
,
для ,
является логарифмически выпуклой функцией (то есть — выпукла).
По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:
и
данные Жаком Бине в 1839 году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции)[3]. Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине[3]:
Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,
Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе , где и целые положительные числа, такие, что не превосходит , справедливо следующее представление:
Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в[4].
Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.
Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид
Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе[3][6][7] этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин[4][8]).
Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга
Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности
.
.
.
.
.
.
Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде[1].
Существуют следующие представления в незамкнутом виде для :
В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:
↑E.T. Whittaker and G. N. Watson A course of modern analysis. An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (third edition). Cambridge at the University Press, 1920.
↑H.M. Srivastava and J. Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001
↑Blagouchine, Iaroslav V. Erratum and Addendum to "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results" (англ.) // Ramanujan J.[англ.] : journal. — 2016. — Vol. 42, no. 3. — P. 777—781. — doi:10.1007/s11139-015-9763-z.
↑Д. С. Кузнецов. Специальные функции (2-е изд.). Высшая Школа, Москва, 1965.