Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

методом последовательных приближений, положив $u^{(0)}(x)=f(x)$ :

u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots

Функции $(K^{p}f)(x)$ называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на $G$ :

\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,

где $\mathrm {mes} \,G$ — мера множества $G$ , а $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$ .

Из этой оценки следует, что ряд

\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},

сходящимся в круге $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ , поэтому при таких $\lambda$ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения $u^{(p)}(x)$ при $p\to \infty$ равномерно стремятся к искомой функции $u(x)$ .