Супермагический квадрат

N-супермагический квадрат (мультимагический квадрат) — обобщённое название магических квадратов, которые остаются магическими при возведении всех чисел в квадрате в $n$-ую степень. При $n=2$ квадрат называется бимагическим, $n=3$ — тримагическим и так далее.

Бимагические квадраты

Первый из известных бимагических квадратов имел порядок 8, магическую константу 260 и бимагическую константу 11180.

Bensen и Jacoby выдвинули гипотезу, что бимагических квадратов с порядком меньше 8 не существует.

Джоном Хендриком было доказано, что не существует бимагического квадрата порядка 3, кроме тривиальных квадратов. Доказательство довольно простое: предположим, что следующий квадрат является бимагическим:

a	b	c
d	e	f
g	h	i

Хорошо известно свойство магических квадратов: $a+i=2e$. По аналогии, $a^{2}+i^{2}=2e^{2}$. Следовательно, $(a-i)^{2}=2(a^{2}+i^{2})-(a+i)^{2}=4e^{2}-4e^{2}=0$. Из чего следует, что $a=e=i$. То же самое справедливо для всех линий, проходящих через центр.

Бимагический квадрат порядка 8:

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

Нетривиальные квадраты сегодня известны для всех порядков от 8 до 64. Китайский математик Ли Вэн построил первые квадраты порядков 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61, 62, закрыв вопрос о существовании квадратов порядка меньше 64.

Тримагический квадрат

Тримагические квадраты порядков 12, 32, 64, 81 и 128 были обнаружены недавно; первый квадрат порядка 12 был найден Вольтером Трампом:

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

См. также

• Магический квадрат

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bimagic Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Trimagic Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Tetramagic Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Pentamagic Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Multimagic Square (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.